三面角是立体几何基本概念之一汇总.doc

三面角是立体几何的基本概念之一汇总
三面角是立体几何的基本概念之一汇总
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三面角是立体几何的基本概念之一汇总
第三讲 三面角
三面角是立体几何的基本概念之一，是组成多面体的重要元素。与平面几何B |
| SC
| cos
2
2 cos A
1
1
1
1
1
1
因此 sin 2 C
sin 2 B
(cosc
cosb) 2
2sin c sin b cosA 2
2 cos A
经整理即得
cos a
cosb cosc sin bsin c cos A
至于 b、 c 大小的其他情况，请读者自证。
定理 3
三面角中任一二面角的余弦等于其余两个二面角的余弦乘积的相反数加上此两
个二面角的正弦及其所夹面角的余弦的连乘积。
已知
三面角 S—ABC
求证
c o sA
c o sB co sC
s i nB si nC c o sa
证明
取三面角 S—ABC 的补三面角 S— A0B 0C0，由定理
2 可知
cosa0 cosb0 cosc0
sin b0 sin c0 cos A0
由定理
1， a
0
180
A, b
180
B, C
0
180
C
A
180
a
0
0
因此， cos(180
A)
cos(180
B) cos(180
C)
sin(180
B) sin(180 C) cos(180 a)
经整理可得
c o sA
c o sB c o sC
s i nB s i nC c o sa
定理 4
三面角中面角的正弦的比等于所对二面角的正弦的比。
分析
定理 4 的证法很多，这里可用利用公式Ⅰ来证明。
证明
设三面角 S—ABC ，在 SB 上任取一点 B 1，作 B 1D⊥ SA
于 D， B1E⊥ SC 于 E，见图 2—6。令 B1 到平面 ASC 的距离为 d，
由公式Ⅰ .在二面角 B— SA — C 中,d=|B 1D|· sinA=|SB 1|· sinC · sinA
在二面角 B — SC— A 中 , d | B1 E | sin C | SB1 | sin a sin C
因此 | SB1 | sin c sin A
| SB1 | sin asin C
sin a
sin c
即
sin C
sin A
同理 sin a
sin b
因此 sin a
sin b
sin c
sin A
sin B
sin A
sin B
sin C
定理 2 和定理 3 分别称为三面角第一余弦定理和第二余弦定理，定理
4