高等代数北大版教案第6章线性空间.doc

第六章线性空间
1会合映射
授课内容:§1会合映射
二教学目标:经过本节的学****掌握会合映射的有关定义、运
与乘积号的定义.
三教学重点:
四教学难点:
五教学过程:

,
s,又
内s个数k1,k2,,ks,称k11
k22
kss为向量组
1,
2,
线性组合.
(线性表出)
给定V内一个向量组
1,
2,
,
s,设
一个向量,如果存在K内s个数k1,k2,
,ks,使得
k1
1
k22
则称向量
能够被向量组
1,
2,,s线性表出.
定义
(向量组的线性有关与线性无关
)
给定
V内一
1,2,
,
s,如果对
V内某一个向量
,存在数域
K内不全
k1,k2,,ks,使得k1
1
k2
2
kss
0,则称向量组
1,
2,
关；若由方程k1
1
k2
2
kss0必然推出k1
k2
ks
量组1,
2,
,
s线性无关.

设1,
2,
s
V,则下述两条等价:
1)
1,
2,
s线性有关；
某个i可被其余向量线性表示.
证明同向量空间.
(线性等价)给定V内两个向量组
果它有一个部分组i1,i2,,ir知足如下条件:
、i1,i2,,ir线性无关；
(ii)、原向量组中任一向量都能被i1,i2,,ir线性表示,
则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.
由于在向量空间中我们证明的对于线性表示和线性等价的一些命题
n
中并没有用到K的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中
.
(向量组的秩)一个向量组的任一极大线性无关部分组包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.

求证:向量组e1x,e2x的秩等于
2(其中
12).
证明:
方法一:设k1,k2∈R,知足k1e1x
k2e2x
0,则k1e1x
12
不全为零
1
0
,则有
e(1
2)x
k2
,
而由于
1
若k,k
,不妨设k
k1
边为严格单一函数
,矛盾于等号右边为常数
.于是k1
k20.
所以e1x,e2x线性无关,向量组的秩等于
2.
证毕.
方法二:若在
(a,b)上1
1x
2
2x
,
k
e
0
ke
两头求导数,得k1
1e1x
k2
2e2x
0,
以xc
(a,b)代入,有
k1e1c
k2e2c
0,
k1
1e
1c
2c
0.
k22e
而
e1c
e2c
(12
)c
21)
0,
1e2c
2e2c
e
(
于是k1
k2
.
3维数、基与坐标
授课内容:§3维数、基与坐标
二教学目标:经过本节的学****掌握线性空间的基与维数,向
的有关定义及性质.
三教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义.
四教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义.
五教学过程:
线性空间的基与维数,向量的坐标
设V是数域K上的线性空间,则有:

(基和维数)如果在V中存在n个向量
1,2,
,
1)1,2,
,
n线性无关；
2)V中任一向量在
K上可表成1,2,
,n的线性组合,
则称1,2,
,n为V的一组基.
基即是V的一个极大线性无关部分组
.基的个数定义为线性空
数.

设V是数域K上的n维线性空间,而
1,2,
,
中任一向量皆可被
1,
2,,n线性表出,则1,2,
,n是V的
证明:由
1,
2,,
n与V