高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解.doc

高等数学各章知识要点及典型例题与****题详尽精解
第一章函数、极限、连续
1节函数★基本内容学****br/>一基本观点和性质
函数的定义
设有两个变量x和y，变量x的变域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法例。
常有错误：。主假如对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认为
，由此获得。

则
“变
判断函数奇偶性
，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？4
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(2)
2
解：(1)因为sinx为奇函数，x2为偶函数，所以为奇函数。
f(x)为奇函数
判断函数的周期性
？对于周期函数，指出其周期。
解是周期函数，周期为
是周期函数，周期是25判断函数单一性
(x)在上有定义，且对随意x，
证明在上单一增加。

；

有
2
证明：设

所以

，而
所以

所以
即F(x)在

上单一增加。

6求反函数例


求函数
5
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解：令
。所以，
，所以

，
所以反函数

即为所求。
复合函数求法
[g(x)]等于多少？
解：当时，，所以当时有；
当时，所以时有故，
。
注：求复合函数一般用三种方法：解析法，代入法，图示法。此题用的是解析法，下面分别介绍这三种方法。
(1)解析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，联合中间变量的表达式及中
间变量的定义域进行解析，进而得出复合函数的方法，该法合用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。
代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种组成复
合函数的方法，称之为代入法，该法合用于初等函数或抽象函数的复合，这种方法在求复合函数时一般最先想到。
图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，合用于分段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。对于图示法解题的一般步骤如下：
①先画出中间变量函数的图形；
②把的分界点在xou平面上画出(这是若干条平行于x轴的直线)；③
写出u在不同区间段上x所对应的变化区间；
④将③所得结果代入中，便得的表达式及相应x
的变6
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化区间。对于这种方法我们会在后边的练****或许能力拓展中用到。
二能力拓展
例1设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，
表示“M的充分必
要条件是N”，则必有
(A)F(x)是偶函数
是奇函数。
(B)F(x)是奇函数
是偶函数。
(C)F(x)是周期函数
是周期函数。
(D)F(x)
[A]
当F(x)0x是单
解法一：任一原函数可表示为
，且
调函数
是单一函数。
为偶函数时，
有
，于是
，即
，也即
，
可见f(x)为奇函数；反过来，若
f(x)为奇函数，则
为偶函数，0x
进而
为偶函数，可见选(A)。0x
1解法二：令f(x)=1，则取F(x)=x+1，除去(B)、(C)；令f(x)=x，则取F(x)=x2，
2
除去(D)；故应选(A)。
例2设则f{f[f(x)]}等于。
解：由f[f(x)]＝1得，f{f[f(x)]}＝1，故应选
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高等数学各章知识要点及典型例题与****题详尽精解★函数理论框架图
第2节极限与连续性
★基本一个正整数当时，
8恒有
高等数学各章知识要点及典型例题与****题详尽精解。若xn存在极限，
称{xn}收敛，否