高考数学一轮复习高分点拨专题29零点定理文理科教师版.doc

第九讲零点定理
【套路秘笈】---与日俱增
函数的零点
函数零点的定义
对于函数
y
＝
f
(
x
)(
x
∈)，把使
f
(
x
)＝0的实数
x
叫做函数
y
＝
f
【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；
(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
【答案】看法析
【解析】(1)方法一因为f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0，所以f(1)f(8)<0，
f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．
方法二
令x
2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x2－3x－18在[1,8]
上存在零点．
(2)
因为f(－
1)＝－1<0，f
(2)＝5>0，f(－1)f(2)<0，故f(x)＝x3－x－1在[－1,2]
上存在零点．
(3)
因为f(1)
＝log2(1＋2)
－1＝log23－1>log22－1＝0，
(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3<log28－3＝0，
所以f(1)f(3)<0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点
【套路总结】
判断函数零点所在区间的三种方法
1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
2．定义法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数
y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看
是否有
f
(
)·
(
)<，则函数
＝
(
x
)在区间(
，
)内必有零点．
a
f
b
yf
ab
3．图象法：经过画函数图象，察看图象与
x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【贯通融会】

x＝1－xlog2x的零点所在区间是(
)
A．(1
,1)
B．(1
,1)
C．1,2
D
．2,3
4
2
2
【答案】C
【解析】
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
f4
＝1－log2＝1＋
＝＞0，
f2
＝1－log2
＝1＋＝＞0，
4
4
2
2
2
2
22
（1）＝1－0＝1＞0，f（2）＝1－2log22＝－1＜0，由f（1）f（2）＜0知选C．

x＝lnx－(1)x2的零点为x0，则x0所在的区间是( )
2
A．(0，1)
B．(1，2)
C
．(2，3)
D．(3，4)
【答案】C
2
【解析】∵
f
x＝lnx－(1)x2在(0，＋∞)上是增函数，又f1＝ln1－(1)1
ln12
0，
2
2
f2＝ln2－(1)0
ln21
0，f
3＝ln3－1
．故f(x)的零点x0
(2，3)．
2
2
3．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(
x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(，
)和(
b
，
)内
B．(－∞，)和(
，)内
ab
c
a
ab
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【答案】
A
【解析】
∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，
(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两
个零点．因此函数
f
(
x
)的两个零点分别位于区间(
a
，
)，(
，
)内，应选A.
b
b
c
4．设f(x)＝ln
x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为
(
)
A．(0,1)B
．(1,2)
C．(2,3)D．(3,4)