三角恒等式证明种基本技巧.docx

三角恒等式证明9种根本技巧
三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式
出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。
观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存 +bcos2 a =nsin 2 3 , mtan2 a =ntan2 3 （ 3 w n 兀） 求证：（a+b）（m+n）=2mn

一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等 比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来 方便。
例 6 (1+ cos a )(1- cos 3 )=1- 2(w。，1)。求证：tan2—」
2 1
思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将
别离出来，以结论中
,2
tan —
2
1
^一为向导，应用
1
合比定理即可到达论证之目的。

观察等式左右构造上的差异，立足于统一构造形式也是三角恒等式的一种技巧。
例 7 设 A+B+C=t ,求证： sinA+sinB+sinC=4cos — cos — cos C
222
思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。
.化拆项
这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。
n 1 n
cosxsin - x
例 8 求 cosx+cos2x+ .••+cosnx=22—
x
sin
2
思路分析：左边同乘以sin 2,去括号，积化和差可得
.数学归纳法
与自然数有关的命题，还可以用数学归纳法解决。 上述例题可用数学归纳法证明。
3 1 、 .3 1 3 . 1
2sin(-x - x) sin xcos- x cos xsin x
.右式= 2_2_ =， 2 2_―
2cos—xcos—x
cos- x cos- x
=tan 3x - tan 1x。
2 2
2八
c . 2 tan C
. --- sin C= 厂一
1 tan2C
2 A
.2A tan A
sin A=
1 tan A
・2 — ・ 2 2八、
sin C = tan C(1 tan A 由可得
sin2 A tan2 A(1 tan2C)
sin2 C
sin2 A
tan(A B)_
=1-
一，, 2 -、
tan B(1 tan A)
tan A tan A(1 tan Atan B)
tan B(1 tan2 A) = tan2 C(1 tan2 A) tan A(1 tan Atan B) tan2 A(1 tan2 C)
tan2 C
tan B tan A
， 2 一 ， 一 -
1 tan C 1 tan A tan B
即 tan 2c = tanA - tanB 命题成立。
：应用降哥公式，从右证到左:
右边=8( 1__cos2 ) 2=2(1-2cos2
2
+3=左边。
：将左式分子中“