椭圆型偏微分方程课件.ppt

§1 调和函数
【知识点提示】
Green公式，基本解，调和函数，调和函数的基本性质。
【重、难点提示】
利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数的
基本性质。
【教学目的】
掌握调和函数的定义和性质。
方程()的基本解
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注 基本解在
时关于
或
都是调和
且无穷次可微.
函数
其次, 考虑二维Laplace方程
在极坐标变换
下它可化为
()
二维Laplace方程的基本解
定理 设函数
在有界区域
内二阶连续可微, 在
上连续且有连续的一阶偏导数, 则当点
时, 有
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()
其中
是边界曲面
的外单位法向,
是曲面
上的面积单元,
是体积单元.
证 以
为中心
为半径作球
使
表示该球的球面,
于是在区域
上,函数
和
都满足第二Green公式的条件,
代入公式()得
()
因为
在区域
内是调和函数, 所以有
.
另外边界
上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心
的方向, 所以在
上有
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从而得到在
上的积分为
其中
和
分别是函数
和
在 球面
()
可写成
因为
及
在
上连续，所以
关于
一致有界, 且当
时,有
,
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于是由上式即得
定理证毕.
今后, 我们将公式()称为三维空间中的基本积分公式.
定理 设函数
在有界区域
内二阶连续可微， 在
上连续且有连续的一阶偏导数，则当点
时有
()
其中
表示
上的线元素,
是
上的面积元素.
. 调和函数的基本性质
性质 设
是有界区域
内的调和函数, 且在
上有连续的一阶偏导数,则
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()
证 利用第二Green公式,在()中取
,取
为所给的调和
函数,
由此性质可得出, Laplace方程的第二边
就可得到().
值问题
有解的必要条件是函数
满足
性质 设
是有界区域
内的调和函数,且在闭区域
上有连续的一阶偏导数,则在
内的任一点
处有
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()
证 利用基本积分公式()即得.
类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用()得到
()
其中
是平面上有界区域
的边界.
性质 (平均值定理) 设
是区域
内的调和函数,
是
内的
任一点以,
为心
为半径作球
只要球
连同其边界
包含在
内,则有公式
()
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证 将公式()应用于球面
上,得到
这里
,,
在球面上的外法线方向与半径的方向一致,于是
又因为
所以有
我们把调和函数的这一性质称为平均值定理, 公式()
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称为平均值公式,
即调和函数在球心处的值等于它在球面上的
平均值.
注1 对区域
内的下调和(上调和)函数
, 我们有
()
性质 (强极值原理) 假设不恒为常数的函数
在有界区域
,
内调和且在
上连续, 则它在
上的最大
值和最小值只能在
的边界
上达到.
证 用反证法. 假设调和函数
在
上的最大值不在
上达到, 那么它必在
内的某一点
达到, 记
当然
也是
在
上的最大值.
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以
为心
为半径作球
使
完全包含于
内, 记
的球面为
,可以证明,在
上有
事实上,若函数
在
上某一点的值小于
, 则由连续性知,
上必可找到此
在球面
点的一个充分小的邻域, 在此邻域内有
, 于是在
上成立不等式
但由平均值公式(),有
这就发生了矛盾. 所以在球面
上,必须有
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同理可证, 在任一以
为心,
为半径的球面
上, 也有
. 因此,在整个球
上,有
下面证明对
内的所有点,都有
. 为此在
内任取一点
, 由于
是区域, 所以可用完全位于
内的折线
将点
和
连结起来,
设
与边界
的最短距离为
,
于是函数
在以
为心
为半径的球
上,
恒等于
, 若
与球
的球面
相交于
点, 显然, 在以
为心
为半径的球
上, 有
照此作下去,可用有限个球
.
将折线
完全覆盖, 而且
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使
, 因为在每个球上都有
, 所以
由点
的任意性