偏微分方程数值解习题解答案.docx

第二章****题答案 第二章?第三章?第四章?第五章?第六章？
—+ —=0的差分方程。 dt dx
4, m+1 …»+1 〃, »-1
以,• -ui ui -ui
1) + = %
T h
+ 应0)]
jj2
=) + 4[a(”., £)一 (/, £)一 >0)々⑴]+ 。。
△ (“.,£)-(/,£)-p(B)仪 0) a
=「[「毕牛+舛.£-扪心-〉(睥0)。
• a dx dx
=r (Lu, - f)tdx + p(b}u, 0)£0) - p 0)食 0) (4)2
Jd
(3) n (4)所以可证得。。
必要性：若U,是边值问题(1)£”. 一 / = 0 ”: 0) = §
所以△(”.,£)-(/,£) —p0)仪0) = 0 中'(0)=0 且 中(人)>=中(0)。
P93〃
4：就边值问题()建立虚功原理，
解：由上一题知：()等价于/
- d , dv. . , d dw 、 a
ax ax ax ax
v(a) = 0 v'(6) = 0“
(Zv - f^tdx = P + qvt _ JQdx = 0 4-1
s dx dx
即 a(y,£)-(fi，f)=W
又因为 a(u,£)-(/")= IZv- 7i)tdx + p(b)v (i)Z(i) *2.
所以 v'(Z>) = u'(Z?)-w'(Z?) =u (b)-
Lv~ f\ = Lu- f
所 以
a (v，£) - C/i /) =「(£" - f)tdx + p(b)u'0)£ (b) -p(b)j^(b)= 0^ 'a.
又因为々(心)一 (/,£)"
(七 du dt ..,
=| [p——+qut-fi]dx^
•a ax ax
=p(b)u 0)£0) + J {Lu- f)tdx^
所以得 a(”,v)-C/,£) — p0)度0) = 0。
即是()的解的充分必要条件为+，
a(u,v)- (f,i) -pQ^PL (b) = 0。
P93 3
5：试建立与边值问题。
T d 七 . ,
Lu = = j a < x <b^
u(a) =u (b) = 0 u(b)=以'(8) = 0
的等价变分问题/
解：设 VveN；且 v(a) = v'(a) = O v(2>) = v'(£>) = 0^

贝ij | {Lu - f)vdx = I ——vdx+ I uv - jvdx^
•Q 知dx' 上
L dx4
d3u $ dE dv .
—V L -I —5- — dx^ dx3 '« dx3 dx
x j 2 j2
=以⑶(i)v(Z>) - u (b)v (B) + 以’(a)v (a) + | dx /
•Q & dx2
B a 4
=以⑶(Z>)v(2>) — u (b)v 0) + 以'(a)v (a) + | —-udx v % diC
又 v(a) = v'(a) = v(i) = v'(6) = 0^
所以I小妇 L dx* L
f
, 4
a cL yj
{Lu - f)vdx = I u ― + I uv — fvdx^'
•a 粮dx‘上
=i(u,v)-(/,v) = Op
其中批w,v)=
r* d^v
s
+ uv)dx是一个双线性泛函.*>
所以边值问题的变分问题为。
求ucH\使得.
6(u,v) -(/,v) = 0 > Vv e 且 v(a) = v («) = 0
”0) =u (Z>) = 0°
Pl 03^
3 :试就方程()的非齐次定值条件
du
()——+ au\ = B (X >= 0 dn 7
导出等价的变分问题，
解:取一特定函数it。e顷日)
J|,= 0。 dn r
则得()
()的等价问题一
—+auQ | = j8 令 u=以一以° 贝U dn
*+的,=0。
dn '
- 1
所以 J(v) = l(-Av,v)-(F,v)^
= -(v,v)- (F,v)p
f 2 a
]dxdy + —]av ds - 11 Fvdxdy^
b ”
1 Mr/徵、2 /伽、2 , , ffr3w duQ 珈 dll。
T [(7+( )2 血奈]gy
2-; dx dy \ dx dx dy
常数w
+ — | au2ds- | auu^ds- || fudxdy- || Lu^idxdy +
2》 b J J J J
=亍@)一 n［孚