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高考数学文一轮总复习人教新课标广东专用指数与指数函数.pptx
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中学教育
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高考数学文一轮总复习人教新课标广东专用指数与指数函数.pptx
第五节 指数与指数函数
a的n次方根
根式
_a_
(3)有理数指数幂的运算性质:
①ar·as= _______(a>0,r、s∈Q);
②(ar)s= ______(a>0,r、s∈Q);
③(ab)r= _______第五节 指数与指数函数
a的n次方根
根式
_a_
(3)有理数指数幂的运算性质:
①ar·as= _______(a>0,r、s∈Q);
②(ar)s= ______(a>0,r、s∈Q);
③(ab)r= _______(a>0,b>0,r∈Q).
2.指数函数的图象与性质
ar+s
ars
arbr
1.如图2-5-1是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系如何?你能得到什么规律?
【提示】 图中直线x=1与它们图象交点的纵坐标为它们各自底数的值,∴c>d>1>a>b,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.
2.函数y=ax,y=a|x|(a>0,a≠1)两者之间有何关系?
【提示】 函数y=a|x|与y=ax不同,前者是一个偶函数,其图象关于y轴对称,当x≥0时两函数图象相同.
【答案】 B
2.(2013·三明模拟)当a>0,且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点________.
【解析】 ∵a0=1,∴x-2=0,即x=2,此时,f(2)=-2,因此必过定点(2,-2).
【答案】 (2,-2)
3.(2013·安庆模拟)指数函数y=(a2-1)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是________.
4.(2013·广州六校联考)已知函数g(x)=2x,且有g(a)g(b)=2,若a>0且b>0,则ab的最大值为________.
【思路点拨】 将根式化为分数指数幂,负分数指数化为正分数指数,底数为小数的化成分数,然后运用幂的运算性质进行运算.
1.这类问题的求解,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
已知f(x)=|2x-1|,
(1)求f(x)的单调区间;
(2)比较f(x+1)与f(x)的大小;
(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.
【思路点拨】 (1)作出f(x)的图象,数形结合求解.
(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象,数形结合求解.
(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.
(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象如图所示,有四个交点,故g(x)有四个零点.
1.指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.
2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.
k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解?
【解】 函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.
当k<0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解;当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解;
当0<k<1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同交点,所以方程有两解.
【思路点拨】 先求函数的定义域,再判断奇偶性;对于恒成立问题,可借助函数的奇偶性,只讨论x>0的情况.
1.求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
2.与奇、偶函数有关的问题,根据对称性可只讨论x>0时的情况.
从而ax1+1>0,ax2+1>0,ax1-ax2>0,
∴f(x1)>f(x2),f(x)为R上的减函数.
分数指数幂与根式的关系:根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
,因此解题时通常分0<a<1和a>1进行分类讨论.
2.换元时注意换元后“新元”的范围.
【答案】 A
易错提示:(1)对a和b没有化为同底的意识,造成思维受阻.
(2)不能合理的构造
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