对称变换和对称矩阵.docx

k=1

授课题目：
教学目的：
1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题．2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质．
,能熟练地找
于是
c(a)={a,a・・・a}aX
12n
c(卩)={a,a…a}ay
12n
其中aX,ay分别是c(卩),c(卩)关于标准正交基{么，a・a}的坐标列向量，因此
12n
<c(a),p>=(AX)tY=XtAtY
<a,c(p)>=Xt(AY)=XtAY
因a=A丄故<c(a),p>=<a,c(P)>
二、对称变换的基本性质
1、特征根的性质
Th2实对称矩阵的特征根都是实数
证明：设A=(a)是一个n阶实对称矩阵，九是A在复数域内的任意一个特征根,ij
c
1
c
g=.2eCn
是A的属于特征根九的特征向量，于是有g工0且Ag=Xg,为了证X=X
记A=(a),gg-=
ij
Z、
c
1
c
2
u
n(R)
Ic丿
n
故A=A,在Ag=^g两端取共轭转置，由复数共轭的性质及
(A?)T=(Ag)TTATTAtTA
=吒可…CA=辰）T=辰T）刊UC:…C所以
A(C；C…歹)
12n
c
1
c
2
■
•
=九(C,C・・・C)
12n
c
1
c
2
■
•
c
c
n
n
2n
c
1
c
2
■
•
=九
c
1
c
2
■
•
c
c
nJ
n」
又因为Ag二九g即A
所以
c
1
c
2
■
■
■
=(C,C••£)X
c
1
c
2
■
■
■
12
n
c
c
n
n
1
=X(C,C…C)
12n
c
n
c
1
c
2
=九(C,CC)
1一
c
1
c
2
c
n
即九(ccHFcc)=九(ccHFcc)
11nn11nn
因gH0.•.£cc丰0,从而由消去律得九=九，即九为实数kk
k=1
对称变换的特征多项式在C内的根都是实根
2、特征向量的性质
k=1
Th3：n维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根向量彼此正交。
证：设◎是n维欧氏空间欧氏空间V的一个对称变换，九,卩是V的特征向量。
则◎化)=猛Q们)=3
则有
九<g，耳>=<疋，耳>=<◎(g),n>=<gq们)>=<g，卩耳>=卩<g，耳>
因为九h卩所以<g，n>=0
三、主要结果
1、主要定理
Th4：设Q是n维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V的一个标准基，使得Q关于这个基的矩阵是对角形式。
证明：对n用数学家归纳法，n=1时是明显的，因为关于任意单位向量的矩阵都是对角形式。
设n>1,并且假设对于n-1维欧氏空间的对称变换来说定理成立，现在设n维欧氏空间V的一个对称变换a，a有特征根，令l是◎的一个特征根，«是V中属于l的
一个特征向量，并且可设Q是单位向量:
a(a)=la,
令W=L(aJ，W在a之下不变
—I
V=W㊉W丄
W丄也在之下不变，事实上，设gww丄，对于