2021高考数学(理)一轮复习优化讲解《双曲线》.docx

昌。知识，有会回顾
' 最新考纲
考向预测 、
了解双曲线的定义、几何图形 和标准方程，知道其简单的几 何性质(范围、对称性、顶点、 离心率、渐近线).
<
题势
命趋
主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参(4) V
二、 易错纠偏
常见误区|K(1)忽视双曲线的定义；
⑵忽视双曲线焦点的位置；
忽视双曲线的渐近线与离心率的关系.
平面内到点入(0, 4),形(0, —4)的距离之差等于6的点的轨迹是.
解析：\PFr\-\PF2\=6<\FrF2\ = 8,得 a=3,又 c=4,则 Z?2=c2-a2=7,所以所求点 2 2
的轨迹是双曲线3=1的下支.
2 2
答案：双曲线京一3= 1的下支
坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为导则双
曲线的离心率为. 2 2
解析：若双曲线的焦点在X轴上，设双曲线的方程为角一春=1，则渐近线的方程为)
= ±gx,由题意可得-=tan b=y[3af可得c=2a,则g=^=2;若双曲线的焦点在y
2 2
轴上，设双曲线的方程为春=1,则渐近线的方程为｝;=±亲，由题意可得；=七211
a=y[3bf可得c=半i,则e==2或e=手.
答案：2或耳^ 2 2
若双曲线务一*=1(“>03>0)的一条渐近线经过点(3, -4),则此双曲线的离心率
为. b 3b
解析：由条件知y=—-x过点(3, —4),所以—=4,即3/?=4。，所以9/?2=16«2,所以
9决一9。2=16。2,所以 25。2=9决，所以 e=|.
答案：I
>旗(®考点，合痘剖析
明考也•直击考例考军*
[学生用书P170]
考点❶
双曲线的定义(多维探究)
角度一利用定义求轨迹方程
瓶U-1J已知圆G： (a-+3)2+v2=1和圆C2： (x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆G及圆
C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
【解析】 如图所示，
的条件，得
\MQ\-\AC}\ = \MA\,
|MC2|-|BC2| = |MB|, 因 ^)\MA\ = \MB\,所以
\mc}\-\aq\=\mc2\-\bc2\,
即|MC2| — |MCi| = |BC2| — |AG|=2,所以点M到两定点Cl、G的距离的差是常数且小于
IGGI=6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与G 的距离小），
其中 a=\, c=3,则 Z>2 = 8.
2
故点M的轨迹方程为J—亲=i（,w — 1）.
【答案】-V2-— 1）
角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题
期-2]已知八，凡为双曲线C： ?-/ = 2的左，右焦点，点F在C上，|FF]| = 2|PF2|, 贝Ij cosZFiPF2=.
【解析】 由双曲线的定义有
IFF, |-|PF2| = |PF2| = 2a = 2,,
所以成****2成巴=4彖,
则 cosZFiPF2=
成****2 + |所2|2 —旧凡|2
2|PF|| • |PF2|
_ （4也）2+ （2皿）2一42_3
— 2X4y[2X2yf2 一〒
3
【答案】j
【迁移探究11 （变条件）将本例中的条件"|PF|| = 2|PF2「‘改为"/昂所2=60° ”，求 △F'PFz的面积是多少？
解：不妨设点P在双曲线的右支上，则成为|一成凡1 = 2“ = 2皿，在ZxFiPF?中，由余弦
定理，得
cosZFiPF2=
|PF||2 + |PF2|2-|F|F2|2_1
2|PF|| • \pf2\ ~r
所以IFF!I . |PF2| = 8,
所以 55酉2=§成为1 . |FF2lsin60° =2吏.
【迁移探究2】（变条件）将本例中的条件“成乩| = 2成％1”改为再2=0”，求
△ F1FF2的面积是多少？
解：不妨设点P在双曲线的右支上，则
|PF1|-|PF2|=2«=2V2,由于击\ • PF2=0,
所以PF1±△F1PF2中，有
|PF『 + |PF2|2 = |FiF2|2，
即|PFi|2 + |PF2|2=16,所以|PFi| • |PF2| = 4,
所以 , 1所2| = 2.
角度三利用定义求解最值问题
2 2
收£1-3］若双曲线孚一书=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点，A(l, 4),则 IFH + IRM的最小值是( )
8 B. 9
C. 10 D. 12
2 2
【解析】 由题意知，双曲线字―书=1