2020-2021学年江苏省南通市如皋城西中学高三数学理测试题含解析.docx

2020-2021学年江苏省南通市如皋城西中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2）和求出的斜率写出切线方程即可．
【解答】解：由f（x）=3x+cos2x+sin2x，得到：f′（x）=3﹣2sin2x+2cos2x，
且由y=x3，得到y′=3x2，
则a==3﹣2sin+2cos=1，
把x=1代入y′=3x2中，解得切线斜率k=3，
且把x=1代入y=x3中，解得y=1，所以点P的坐标为（1，1），
若P为切点则由点斜式得，曲线上过P的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．
若P不为切点，则设切点为（m，n），切线斜率为3m2，
则3m2=，n=m3，解得m=﹣，
则切线方程为：3x﹣4y+1=0．
故答案为：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．
14. 若是平面内夹角为的两个单位向量，则向量的夹角为          ．
参考答案：
15. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余的7个分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
   ，
则该图中x的值为_____．
参考答案：
4
16. 函数的单调递增区间为　　．
参考答案：
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得单调递增区间．
【解答】解：∵=sinx+sinx+cosx=sin（x+），
令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．
17. 过抛物线=2py(p>0)的焦点F作倾斜角的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值是___________．
参考答案：

抛物线的焦点为，准线方程为。设点，直线方程为，代入抛物线方程消去得，解得。根据抛物线的定义可知，所以.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数，其中，.
（1）当，时，求关于x的不等式的解集；
（2）若，证明：.
参考答案：
（1）（2）见解析
【分析】
（1）代入，的值，求出 的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；
（2）变形可得，再利用三角不等式求出的最小值为，由基本不等式即可得到的最小值为4
【详解】解：（1）由，，
得，                               
所以的解集为.                                       
（2）由，可得，
，                                           
因为，，
所以，
.
19. 已知函数．