第3讲 有限元梁单元.ppt

第3讲 有限元梁单元
第一页，共40页。
§ 简单梁单元
一、离散化，节点位移与节点载荷
对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是“焊接”。
梁上2的受力分为两类：
1）外载荷：
2）单元（1）、（2）上节点力的反作用力：
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§ 简单梁单元
由节点2的静力平衡条件得：
单元节点力的反作用力
外载荷
单元节点力
单元节点力
节点2的外载荷=节点2对其所有相连单元的节点力之和（节点总内力）
也就是节点2所受外载荷 要分配到相连的单元上。
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§ 简单梁单元
由前面给出的单元（1）、（2）分块形式单元刚度方程代入节点2的平衡方程：
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§ 简单梁单元
同理，由节点3的平衡可得：
由节点1、4的平衡得：
将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得：
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§ 简单梁单元
上式简写为：
—— 结构节点位移列阵（ 8 ×1）
—— 结构节点载荷列阵（ 8 ×1）
—— 结构总刚度矩阵（8 ×8）
—— 结构（系统）有限元平衡方程
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§ 简单梁单元
结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。
由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。
总刚度矩阵中有大量元素为0，因此矩阵具有稀疏性
非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。
结构总刚度矩阵的讨论：
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§ 简单梁单元
总之，从弹簧、直杆和梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下：
1）对称性；
2）奇异性；
3）稀疏性；
4）非零元素带状分布
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§ 简单梁单元
结构有限元平衡方程的讨论：
平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力（各节点对相关单元作用力之叠加）；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献——总刚子块的物理意义。
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§ 简单梁单元
平衡方程右端是各节点外载荷，左端是由节点位移和单元刚度矩阵子块叠加计算得到的总节点力。因此，有限元平衡方程表征了系统各节点所受外载荷与所受所有相关单元反作用总力（总节点力）之间的平衡。
结构有限元平衡方程可以叙述为：

总节点力（内力） = 节点外载荷。
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§ 简单梁单元
对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位移，通过剩余方程求出支反力。
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§ 平面内一般梁单元
拉伸、弯曲组合
单元变形特征
节点位移分量
节点载荷分量
平面梁单元
整体节点位移
整体节点载荷
节点自由度：3
一、单元与节点
平面刚架
模拟
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单元有2个节点：i，j
局部坐标系下节点位移分量：
轴向位移：
横向挠度：
转角：
局部坐标系下节点力分量：
轴向力：
横向剪力：
弯矩：
§ 平面内一般梁单元
单元描述：
二、局部坐标系下平面梁单元刚度方程
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单元有6个位移分量 6个自由度
单元节点位移列阵：
单元节点力列阵：
§ 平面内一般梁单元
单元描述：
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§ 平面内一般梁单元
建立单元特性方程
在小变形假设下，梁的轴向变形和弯曲变形互不偶合。可以分别研究两种变形模式下的刚度特性。
因此，组合变形下的平面梁单元刚度方程可以由该局部坐标系下的轴向变形刚度方程（相当于一维杆单元）和弯曲变形刚度方程（相当于简单梁单元）叠加而成：
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§ 平面内一般梁单元
上面刚度方程简写为：
分块形式：
其中：
刚度矩阵一个子块：
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§ 平面内一般梁单元
三、整体坐标系下刚度矩阵：坐标变换
局部坐标系下节点