高中立体几何知识点总结及例题(上).ppt

数学立体几何一、空间多边形及一些基本定义 1、.、若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合,则叫做封闭的空间折线. 3、若封闭的空间折线各线段彼此不相交,则叫做这空间多边形平面,平面是一个不定义的概念,、平面通常用一个平行四边形来表示. 5、平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母 M、N、P来表示,也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示, 如平面 AC. ?6、在立体几何中,大写字母 A,B,C,…表示点,小写字母, a,b,c ,… l,m,n ,…表示直线,且把直线和平面看成点的集合,因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系,例如: ?A∈l—点A在直线 l上; Aα—点A不在平面α内; ?l属于α—直线 l在平面α内; ?a不属于α—直线 a不在平面α内; ?l∩m =A —直线 l与直线 m相交于 A点; ?α∩ l =A —平面α与直线 l交于 A点; ?α∩β=l—平面α与平面β相交于直线 ??公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. ?公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. ?公理 3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. ?根据上面的公理,可得以下推论. ?推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. ?推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. ?推论 3 经过两条平行直线,?共面平行—没有公共点?(1) 直线与直线相交—有且只有一个公共点?异面(既不平行,又不相交) ?直线在平面内—有无数个公共点?(2) 直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点?相交—有且只有一公共点?(3) 平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) ?平行—没有公共点、?证明两条直线是异面直线通常采用反证法. ?有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. ?(1) 两直线平行的判定?①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ?②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若 a∥α,aβ,α∩β=b, 则a∥b. ?③平行于同一直线的两直线平行,即若 a∥ b,b ∥c,则a∥c. ?④垂直于同一平面的两直线平行,即若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b ?⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b, 则a∥b ?⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β= b,a ∥α,a∥β,则 a∥、?已知四边形是 ABCD 空间四边形, E、F、G、 H分别是四边的中点?求证: EFGH 是平行四边形 AHG F ED C B ?(2) 两直线垂直的判定?①定义:若两直线成 90 °角,则这两直线互相垂直. ?②一条直线与两条平行直线中的一条垂直, b∥ c,a ⊥b,则a⊥c ?③一条直线垂直于一个平面, a⊥α,bα,a⊥b . ④三垂线定理和它的逆定理:在平面内的一条直线,若和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直. ?⑤如果一条直线与一个平面平行, a∥α,b⊥α,则a⊥b. ?⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即若α⊥β,β⊥γ,γ⊥α,且α∩β= a,β∩γ= b,γ∩α=c ,则 a⊥ b,b ⊥ c,c ⊥、?如图 P是所在平面外一点, 平面 PAB ,M是 PC 的中点, N是 AB 上的点, (1)求证: ; ?(2)当,时, 求 MN 的长。 N M P C B A ABC ?, PA PB CB ? ? 3 AN NB ? MN AB ? 90 APB ? ?? 2 4 AB BC ? ?