直线与圆锥曲线考试.docx

难点 24
直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、
压轴题出现， 主要涉及位置
关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等
.突出考查了数形结合、分类讨
论 有一个交点 .当 l 的斜率存在
时，设直线 l 的方程为 y－2= k(x－ 1),代入 C 的方程，并整理得
(2－ k2)x2 +2(k2－ 2k)x－ k2+4k－6=0
(* )
(ⅰ )当 2－ k2=0,即 k=±
2 时，方程 (* )有一个根， l 与 C 有一个交点
(ⅱ )当 2－ k2≠ 0,即 k≠± 2 时
=［
2
2
－4(2
2
2
－2k)
2(k － 2k)］
－k
)(
－ k +4k－ 6)=16(3
①当
=0, 即 3－2k=0,k= 3 时，方程 (* )有一个实根， l 与 C 有一个交点 .
2
②当
＞ 0,即 k＜ 3
,又 k≠±
2 ,故当 k＜－
2 或－
2 ＜ k＜ 2 或
2 ＜k＜ 3 时，方
2
2
程( * )有两不等实根， l 与 C 有两个交点 .
③当
＜ 0，即 k＞ 3 时，方程 (* )无解， l 与 C 无交点 .
2
综上知：当 k=±
2 ,或 k=
3 ，或 k 不存在时， l 与 C 只有一个交点；
2
当
2
＜ k＜ 3
或－
2
＜
k
＜
或 ＜－
2
时，
l
与
C
有两个交点；
2
,
2 , k
当 k＞ 3 时， l 与 C 没有交点 .
2
(2)假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB ，且 A(x1,y1),B(x2,y2) ，则 2x12－ y12 =2,2x2 2－y22=2两式相减得： 2(x1－ x2)( x1+x2)=( y1－ y2)(y1+y2)
又∵ x1+x2=2,y1+y2=2
2(x1－ x2)=y1 －y1
即 kAB= y1 y2 =2 x1 x2
但渐近线斜率为±
2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点，所以假设不正确，即以
Q 为
中点的弦不存在 .
［例 3］如图，已知某椭圆的焦点是
F1(－ 4，0)、 F 2(4， 0)，过点 F 2 并垂直于 x 轴的直
线与椭圆的一个交点为
B，且 |F