数值分析2迭代法.doc

§简单迭代法
不动点迭代(iterate)
迭代法是数值计算中的一类典型方法，被用于数值计算的各方面中。
一、简单迭代法
设方程
f(x)=O ()
在［a, b］区间内有一个根史，把()式写成一个等价的隐式方程
x=意xGR,有
|g')| VL<
成立，并有
|g(x) — X*| = |g(x) — g(x* )倍 — X*倍 k — X j 罚
即对任意XGR,有g(x)GR,因此g(x)满足定理条件，从而由定理知，
对任意x GR,迭代过程收敛. 其至
三、计算机算法
步,提供迭代初值工 ；
步,迭代计算Xj = gOo)；
步,若g -引>，则x 转,否则,rootujq，转出口。
［例】求方程/(x) = xex-l = 在x=. 附近的一个根，要求精确到
e=- o
解：有根区间为［. , . ］ o由于在根附近|(e"x)/| -.<,选取
g(x) = e~x时，迭代公式为
Xk+l = e~Xk (S ,,…)
对初值x =. 收敛。迭代值列于表
表例迭代值
k
Xk
k
Xk
k
Xk
.
.
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.
迭代次时--^ <邑》 = -为所求根。
附算法程序：
function y=iterate(x)
xl=gg(x);
n=l;
while (abs(xl-x)>=.Oe-)&(n<=)
x=xl;
xl=gg(x);n=n+l;
end
xl
n function f=gg(x) f=exp(一x);
end
调用迭代法函数求方程的根:
iterate(.)
【例】在例中取g(x) = x+ c(x -),选取c使迭代计算收敛, 并计算根
解 由于根x* = V, g'(x) = + lex,故取c使
-< + cV <
为使收敛速度快，取C使
l + Vc-,c-^---
V
因此迭代格式为 ,
xk+i =叫-—(改 一) k>
取初值吒=,迭代计算，其结果如下
,
%! =--( —) = .
,
x =.--(. -) = .
,
x = . - - (. -) = .
【说明】如果构造的。(x)满足定理条件，并且使|g'(x)|尽量水,可便迭 代计算加速收敛。
埃特金(Aitken)加速法