必修5第三章第1-2节不等式;一元二次不等式及其解法-32.docx

腰
课程信息
年 级
学 科
数学
版
本
人教新课标A版
课程标题
必修5第三章第1—2节不等式；一元二次不等式及其解法
编稿老师
王志国
一校
林卉
二校
黄楠
审核
王百玲
一、 学****目标
A. (xlx>0} B. {xIxNl} C. {xlx>l} D. (xlx> 1 或 x = 0}
思路分析：若直接去分母需考虑分母的符号，所以通常采用移项后通分的方法。
解答过程：
原不等式化为1 + x-一 >0,
1-X
f 2 Y2
通分得——>0,即——>0,
1 ~ X X ~1
Vx2>0, .•.x—l>0,即 x>l,选 C。
解题后的思考：对于分式不等式不能直接去分母，通常采用移项后通分的方法。非要去 分母亦可，但必须先对分母的符号进行讨论后再求解，这点和解分式方程不同。
：3-1)3-2)(工一3)>0.
思路分析：关键是要找到对应方程的根，然后画出草图，最后写解集。
解答过程：设/(x) = (x-l)(x -2)(x-3).
显然，函数y = /(x)的图象与x轴的交点有三个，它们的坐标依次是 (1,0),(2,0),(3,0)。
函数y = f(x)的图象把x轴分成四个不相交的区间，它们依次为：
(一 8,1),(1,2),(2,3),(3,+ 8)；
当x>3时，/(x)> = f(x)的图象是一条不间断的曲线，并且 f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，由此知道y = f(x)的函数值的 符号如图所示.
变化规律很明显，f(x)的符号从右到左在每个区间正负相间。
通过分析，可知不等式(% 一 1)3 - 2)(x-3)> 0的解集为(1,2) U (3, + 8).
解题后的思考：如果把函数f(x)的图象与x轴的交点(1,0),(2,0),(3,0)形象地看成"针 眼”，函数f(x)的图象看成“线”，那么上述这种求解不等式(x-l)(x-2)(x-3)> 0的方 法，。
知识点二：不等式的应用
* +Ar4-2 > 0的解集为<x 求、巴的值。
思路分析：此不等式带有两个字母，但不是求解集，而是给出了解集， 就需要逆向思维，根据解集来找相对应的二次方程的解，结合二次函数的图象判断二次项系 数的符号等。
解答过程：
腰
x =— 与x =—是方程ax' +Z>x+2= 0的两根, 2 3
'116
——+ —=—
2 3 。解得'
(--)x(-) = -
2 3 a.
故有，
<2 = —12, b=2.
(此处注意韦达定理的应用)
解题后的思考：由二次函数> = <m,+*jt4-2的图象可知，当一一-时，/>0,
2 3
即抛物线的开口向下，且与工轴两交点的横坐标是-上和L,也就是说一元二次方程 2 3
a^+bx+2 = 0的两个根为气=-1，*>=-,因此由一元二次方程根与系数的关系可求
2 3
出a, ，二次不等式的解集是由孑次函数结合二次方程求得；反之，也可由二次 不等式的解集确定二次函数图象和二次方程的实根，本题的求解过程正是根据三者之间的内 在联系进行的。
[-2,2],不等式mx2 -2x-m + l< 0恒成立，求实数x的取值范围.
思路分析：若以x为主元，问题复杂且难以解决，若变换思维角度，以m为主元，x为 参数,则原不等式可化为：m(x2-l)-2x + l<0, =初(亍_ 1) — 2x +1为关于秫的
f/(2)<0
一次函数，它的图象是一条直线，运用数形结合思想，我们只需使!
即可。
1/(-2) <0
解答过程:设/(m) = m(x2-l)-2x + l
f/(2)<0,得
1/(-2) <0 1
2(%- — 1) — 2x +1 < 0, —l + V? 1 +V3
。 解得 <%<
-2(x2-1)-2x + 1<0, 2 2
故实数尤的取值范围为
—1 + 1 + a/§"
、2 2 /
解题后的思考：参数，主元不是一成不变的，如果能辩证地看待，往往能使问题柳暗花 明。
= (4ra4-(p4-2)x4-l = «)且AW =0求实数P的取值范围.
思路分析：可以将集合问题转化为根的分布问题，集合A中方程的根为非正数.
解答过程：由知，关于区的二次方程jP+(p+2)z4-1=0无正根.
若方程无实根：
A = (p+2)J-4<0,得-4v，v0；
若方程有实根叼，叼，但无正根；此时由