超越强化班常微分方程题解07.docx

P105一例1微分方程y' = l-x+y2-xy2满足y|v=0=l的特解为.
解：y' = (1 — x)(l + y2) n -~= (1 — x)dx => J -~=J (1 — x)dx
尤2 冗
解得 arctan y + 2y' + y = 0 的特征方程为 r2+2r + l = 0^^2 =-1
由于2 = 1不是特征根，故可设原方程的一个特解为y = (ax+b)ex
② y" + 2y' + y = xe~x ；
解：y" + 2y' + y = 0的特征方程为/+2r+l = 0n*2 =—1
由于A = -l是特征重根，故可设原方程的一个特解为y =x2(ax+b)ex
®y" + y = x2 + Xi
解：/ + y = 0的特征方程为/•2+i = 0n*,2=±，
由于A = 0不是特征根，故可设原方程的一个特解为/=心2 +bx+c
y" + y' = x1 +x；
解：/ + / = 0的特征方程为产+广=0 = *=0, r2=-\
由于人=0是特征单根，故可设原方程的一个特解为y=x(ax2 +bx+c)
y" + > = 4cosx；
解：y"+y = 0的特征方程为产+1 = 0 = %2=±，
由于A + ia)= + i是特征根，故可设原方程的一个特解为y* =x(Acosx + Bsinx)
y" + y = x2 + l + sinx.
解：y〃+y =。的特征方程为产+l = 0n*,2=±Z
对/ + y = %2+l,由于2 = 0不是特征根，故可其一个特解为叫*=勿;2+弘+c
对y〃 + y = sinx,由于A + ia)= ±i是特征根，故可其一个特解为必"、=x(Acosx+Bsinx) 则原方程的一个特解可设为
y = + ^2* =ax2 +bx + c + x(Acos x+ B sin x)
P108—例2方程/-4y = e&的通解为.
解：y”—4y = 0的特征方程为产—4 = 0 n气2 = ± 2，
则齐次方程的通解为Y = C}e2x + C2e-2x,
由于2 = 2是特征单根，故可设原方程的一个特解为y* =Me2\
将y*=^e2,代入原方程，解得A = - n y =-xe2x , 4 - 4
则原方程的通解为y = Y + y= Cxe2x + C2e~2x +-xe2x
4
P108一例 3 解方程 y" + a2y = sin% (a > 0)
解：r2 +O2 =0^>r =±ta ,而 A±ia)= ±i
①若a^l,设特解为>* =Acosx+8 sinx ,
代入方程解得 A=0, B =-^—,
a~ -1
* 1
所以特解为：y = ~~ sinx ,则通解为
a2-l
y = G cos ax+C2sinax +
1
a2 -1
sinx
②若a = l,
设特解为y * =x [Acosx +B sin%],
1 * 1
代入方程解得 A =一一，B =0,所以特解为：y =—kCOSX 2 2
则通解为
y = G cos x + C2 sin x -—xcos x
X x y
P108—例 4 ①验证函数 y(x) = 1 1 1 1 1— 满足方程 y" + y' + y = e* ；
3! 6! (3n)!
②利用①的结果求级数
的和函数.(数二不要求)
【解题思路】要验证函数y(x)满足方程,
只需把它代入方程，求蓦级数的和只需解此微分方程.
Y3 V6 V9 解：①因为 y (%) = 1 + — + —+ 一 + 3! 6! 9!
x3n
H F
(3〃)！
2! 5! 8!
3/i-l
A-
H F
(3h-1)!
y"(x)= x
x4 x7
+一+一 +
4! 7!
3n-2
Ji
H
(3h-2)!
2 3
+ —+ =e*
n\
m ，， , 1 x X
则y" + y '+y =l+x + —+ —
②二阶常系数微分方程+ 相应的齐次方程为y 〃 + y=0,其特征方程为
r2+r + l = 0,特征根为土如
1,2 2 2
因此齐次微分方程的通解为P =e「乎
q cos—X +C2sin—X
1 2 2 2
设非齐次方程的特解为y* = Ae，,代入原方程得A =|, r 也工L . 用' C, cos——x +C, sin——x 〔2 2 J
原方程的通解为y
+ -ex
3
于是，y* = ^ex
2 显然y(x)满足初始条件y(O) = l,：y'(0) = 0，代入