概率与统计考研专题讲义(doc 121页).doc

北京新东方学校
考研数学
概率与统计讲义
〔强化班〕
主编：费允杰
新东方考研数学教材编委会：
费允杰、汪诚义、尤承业、刘西垣、李昂、孙杨
严禁翻印 违法必究
目 录
第一章 随机事件和次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的局部事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为根本领件，用来表示。
根本领件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的局部点〔根本领件〕组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件〔Ø〕的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件〔Ω〕的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
〔6〕事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成局部也是事件B的组成局部，〔A发生必有事件B发生〕：
如果同时有，，那么称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。
属于A而不属于B的局部所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，那么表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。根本领件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率： ，
〔7〕概率的公理化定义
设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，假设满足以下三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件，，…有
常称为可列〔完全〕可加性。
那么称P(A)为事件的概率。
〔8〕古典概型
1° ，
2° 。
设任一事件，它是由组成的，那么有
P(A)= =
〔9〕几何概型
假设随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个根本领件可以使用一个有界区域来描述，那么称此随机试验为几何概型。对任一事件
A，
。其中L为几何度量〔长度、面积、体积〕。
〔10〕加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
〔11〕减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1- P(B)
〔12〕条件概率
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，那么称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)
〔13〕乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，假设P(A1A2…An-1)>0，那么有
…………。
〔14〕独立性
①两个事件的独立性
设事件、满足，那么称事件、是相互独立的。
假设事件、相互独立，且，那么有
假设事件、相互独立，那么可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
〔15〕全概公式
设事件满足
1°两两互不相容，，
2°，
那么有
。
〔16〕贝叶斯公式
设事件，，…，及满足
1° ，，…，两两互不相容，>0，1，2，…，，
2° ，，
那么
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，〔，，…，〕，通常叫先验概率。，〔，，…，〕，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果〞的概率规律，并作出了“由果朔因〞的推断。
〔17〕伯努利概型
我们作了次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率，那么发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，
，。
例1．1：有5个队伍参加了甲A联赛，两