考研数学高数题型分析.doc

考研数学高数题型分析
学海无涯 文都有路
考研数学高数题型分析(4)
——方程根的个数问题(一)
纵观考研数学多年来的考试大纲和考试真题试卷，总体上讲变化不大。每年的考试范围和知识点基本相同或相近，考试题型的变化幅度也不是考研数学高数题型分析
学海无涯 文都有路
考研数学高数题型分析(4)
——方程根的个数问题(一)
纵观考研数学多年来的考试大纲和考试真题试卷，总体上讲变化不大。每年的考试范围和知识点基本相同或相近，考试题型的变化幅度也不是很大，其中有一些重要题型是年年考或经常考，如果考生能完全掌握这些重要题型的解题思路和方法，并能熟练地解答这些题型，则对于顺利地通过考研数学考试将有极大帮助。为了帮助各位考生学会并提高解答数学重要题型的水平，文都老师针对历年考研数学中的重要题型进行深入解剖，分析提炼出各种常考重要题型及方法，供考生们参考。下面主要分析高等数学中关于方程根的个数问题这类重要题型及解题方法。
题型:方程根的个数问题(一)
方程=0的根，也就是函数的零点，有关方程根的问题一般可以利用函数fx()yfx,()
的有关理论加以分析和解决。
主要的分析解决工具包括:
1)函数零点定理:若函数在上连续，且，则至少存在一点fx()[,]abfafb()()0,,
，使(称为函数的零点)。 ccab,(,)fc()0,
2)函数单调性:若函数在上连续且单调(单调增加或单调减少)，则:1)当fx()[,]ab
时，在上有唯一零点;2)当时，在上fx()[,]abfx()[,]abfafb()()0,,fafb()()0,,
没有零点。
3)罗尔中值定理:若函数在上连续，在上可导，且，则至少存fx()[,]ab(,)abfafb()=()
,在一点，使。 ,,(,)abf()0,,
学海无涯 文都有路 一般求解步骤:
)先看有无明显的实根; 1
2)引入相应函数，写出定义域，判断端点函数值和特殊点函数值的正负; 3)求导数，找出驻点和单调区间，讨论在各单调区间上的实根个数。 典型例题
kxxarctan0,,，其中k为参数
(2011年考研数学一第17题)
fxkxxx()arctan,(,),,,,,，,解析:显然=0是一个实根。令，则，xf(0)=0
k,,，，;若，单调减fx()1,,lim()fx,，,lim()fx,,,kfx,,1,()0则fx()2x,,,x,，,1，x
少，只有唯一零点，即原方程只有唯一实根x=0; fx()
,1)若，在上都是单调减少，且kxfx,,,1,0()0则当时，(,0)(0,),,，,和fx()
，故只有唯一零点，原方程只有唯一实根x=0; f(0)=0fx()
,,2)若，当xkk,,,,(1,1)时，，单调kfxxk,,,,,,1,()01则fx()fx()0,增加，而，所以;当fkfk(1)0,(1)0,,,,,xkk,,,,,,，,(,1)(1,):f(0)=0
,时，，单调减少;由此得:在区间fx()0,fx()fx()
上各有一个零点，即原方程在这3个区间上各