线性代数——知识点框架.docx

首先是学问框架：
线性代数学问点框架〔一〕
线性代数的学****切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在争辩线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数到，假设一个向量 a1 能由另外两个向量a2、a3 线性表出，那么这三个向量共面，反之那么不共面。为了争辩向量个数更多时的类似状况， 我们把上述两种对向量组的描述进展推广，便可得到线性相关和线性无关的定义。
通过一些简洁例子体会线性相关和线性无关〔零向量肯定线性无关、单个非零向量线性无关、单位向量组线性无关等等〕。
从多个角度〔线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度〕体会线性相关和线性无关的本质。
局部组线性相关，整个向量组线性相关。向量组线性无关，延长组线性无关。
回到线性方程组的解的问题，即一个向量b 在什么状况下能由另一个向量组a1,a2,...,an 线性表出？假设这个向量组本身是线性无关的，可通过分析马上得到答案：b, a1, a2, ..., an 线性相关。假设这个向量组本身是线性相关的，那么需进一步探讨。
任意一个向量组，都可以通过依次削减这个向量组中向量的个数找到它的一个局部组，这个局部组的特点是：本身线性无关，从向量组的其余向量中任取一个进去，得到的新的向量组都线性相关，我们把这种局部组称作一个向量组的极大线性无关组。
假设一个向量组A 中的每个向量都能被另一个向量组B 线性表出，那么称A 能被B 线性表出。假设A 和B 能相互线性表出，称A 和B 等价。
一个向量组可能又不止一个极大线性无关组，但可以确定的是，向量组和它的极大线性无关组等价，同时由等价的传递性可知，任意两个极大线性无关组等价。
留意到一个重要事实：一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出。这是不难理解的，例如不共面的三个向量〔对应线性无关〕确实不行能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出。
一个向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等，我们将这个数目 r 称为向量组的秩。
向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目。等价的向量组有一样的秩。
有了秩的概念以后，我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉，从而得到线性方程组的有解的充分必要条件：假设系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等，那么有解，假设不等，那么无解。
向量组的秩是一个自然数，由这个自然数就可以推断向量组是线性相关还是线性无关，由此可见，秩是一个格外深刻而重要的概念，故有必要进一步争辩向量组的秩的计算方法。
线性代数学问点框架〔三〕
为了求向量组的秩，我们来考虑矩阵。矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组的秩称为行秩。
对阶梯形矩阵进展考察，觉察阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。
矩阵的初等行变换不会转变矩阵的行秩，也不会转变矩阵的列秩。
任取一个矩阵 A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，那么有：A 的行秩=J 的行秩=J 的列秩
=A 的列秩，即对任意一个矩阵来说