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解读IEEE标准754.doc


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解读 IEEE 标准 754 :浮点数表示如须转载请注明作者为 soloforce@ ,并请保持文章的完整和提供转载出处。 http://bbs./?t=262207 更新: 20060623-06:44 增加了求最大非规格数的公式 20060622-23:40 修改了几处笔误,换掉了实验部分的那张大图,改用代码显示。一、背景在 IEEE 标准 754 之前,业界并没有一个统一的浮点数标准,相反,很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则,以及运算细节。那时,实现的速度和简易性比数字的精确性更受重视。直到 1985 年 Intel 打算为其的 8086 微处理器引进一种浮点数协处理器的时候,聪明地意识到,作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们,也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。于是 Intel 在请加州大学伯克利分校的 William Kahan 教授──最优秀的数值分析家之一来为 8087 FPU 设计浮点数格式;而这个家伙又找来两个专家来协助他,于是就有了 KCS 组合( Kahn, Coonan, and Stone )。他们共同完成了 Intel 的浮点数格式设计,而且完成地如此出色,以致于 IEEE 组织决定采用一个非常接近 KCS 的方案作为 IEEE 的标准浮点格式。目前,几乎所有计算机都支持该标准,大大改善了科学应用程序的可移植性。二、表示形式从表面上看,浮点数也是一串 0和1构成的位序列(bit sequence) ,并不是三头六臂的怪物,更不会咬人。然而 IEEE 标准从逻辑上用三元组{S,E,M} 表示一个数 N,如下图所示: N的实际值 n由下列式子表示: 其中: ★ n,s,e,m 分别为 N,S,E,M 对应的实际数值,而 N,S,E,M 仅仅是一串二进制位。★ S(sign) 表示 N的符号位。对应值 s满足: n>0 时, s=0; n<0 时, s=1 。★ E(exponent) 表示 N的指数位,位于 S和M之间的若干位。对应值 e值也可正可负。★ M(mantissa) 表示 N的尾数位,恰好,它位于 N末尾。 M也叫有效数字位( sinificand )、系数位( coefficient ),甚至被称作“小数”。三、浮点数格式 IEEE 标准 754 规定了三种浮点数格式:单精度、双精度、扩展精度。前两者正好对应 C语言里头的 float 、 double 或者 FORTRAN 里头的 real 、 double 精度类型。限于篇幅,本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。★单精度:N共32位,其中 S占1位, E占8位, M占23位。★双精度:N共64位,其中 S占1位, E占11位, M占52位。值得注意的是, M虽然是 23位或者 52位,但它们只是表示小数点之后的二进制位数,也就是说,假定 M为“010110011... ”,在二进制数值上其实是“.010110011... ”。而事实上,标准规定小数点左边还有一个隐含位,这个隐含位通常,哦不,应该说绝大多数情况下是 1,那什么情况下是 0呢?答案是 N对应的 n 非常小的时候,比如小于 2^(-126)(32 位单精度浮点数)。不要困惑怎么计算出来的,看到后面你就会明白。总之,隐含位算是赚来了一位精度,于是

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