反常积分习题及积分的收敛性质习题解答.doc

1 反常积分概念****题解答 1 、讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值: (1)dx xe x0 ????;(2)dx xe x??????; (3)dxe x??? 01 ;(4)???? 1 2)1(xx dx ; (5)???????544 2xx dx ;(6) xdx e x sin 0 ????; (7) xdx e x sin?????;(8)???? 021x dx 解( 1 )因为????? 0dx xe x?????????? 00 lim AxA xdx xe dx xe02 1 lim Ae xA ??????2 102 12 12 12 1 lim???????????????? AAe 故dx xe x0 ????收敛,其值为 2 1 。(2)???????????????? 0 0dx xedx xedx xe xx x=?????? 002 1dx xe x故dx xe x??????收敛,其值为 0。(3)????????? 00 2 lim 1 A dx xA xedxe0 2 lim 2Ae xA ???????2)22( lim 2??????? AAe 故dxe x??? 01 收敛,其值为 2。(4)?????????? 11 22)1( lim )1( AAxx dx xx dx?????????????? AAdx x xx 1 211 1 lim 1 ) 11)1 (ln( lim Ax nx x A???????)1 ln 11 (ln lim ????????AAA A A2 ln1??因此???? 1 2)1(xx dx 收敛,其值为 2 ln1?。(5)???????????????4)1(2544 2 2x dx xx dx?????????????? 2 1 2 1224)12(4)12(x dx x dx?????????? 020 24 2 14 2 1t dtt dt????????????????020 211 4 1u du u du?????????????0 arctan 0 arctan 4 1 lim Au Au A )] arctan( [arctan lim 4 1AA A??????42 24 1 arctan 2 lim 4 1?????????A A 所以???????544 2xx dx 收敛,其值为 4 ?(6 )因为???????????? xdx exexe xdx e xxxx cos sin sin sin???????? xdx e cox exe xxx sin sin 从而???????ce xx xdx e x x2 cos sin sin 故??????????? 00 )2 cos sin ( lim sin Ae xx xdx e xA x??????????????2 12 cos sin lim A Ae AA2 1?可见????0 sin xdx e x 收敛,其值为 2 1 (7 )因为???? xdx exe xdx e xxx cos sin sin???? xdx exexe xxx sin cos sin 所以????ce xx xdx e xx2 cos sin sin 于是 xdx e xdx e AxA x??