线性代数试题及答案1.doc

线性代数试题及答案1
是 。一、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四
三、计算题(本题共2小题，每题8分，满分16分)
个选项中，只有一项符合题目要求)
1111，x
1111,xAB,01、设，为n阶D,00yy字说明或演算步骤)
1111,y200,,
,,,1PAP13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。 A,032P第二列减第一列，第四列减第三列得: ,,,,023,,x000
110,x,,,，，是它15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123D, (4分) 000y的三个解向量，且 101,y
21,,,,按第一行展开得 ,,,,32,,,,,,,,， ，,123,,,,,x1043,,,,,,,, Dxy,0054,,,,
01,y求该方程组的通解。
按第三列展开得
解答和评分标准 ,x022。 (4分) Dxyxy,,,1y
一、选择题
1、C; 2、D; 3、A; 4、A。
二、填空题 n,,10、解:把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通x3，,,3,,it,5、-125; 6、; 7、-1; 8、。 i,1,,25
三、计算题 过行列式的变换化为上三角形行列式
1xx2n9、解:第一行减第二行，第三行减第四行得: n，13xx,,2n,，Dx3 (4分) ,ni,,,i1,,
，13xx2n

1,11xx2n，代入上式得 由(1)得:，,，[()]()EfAEA2n030,, ,，x3111,i,,11,, ,,,，，,，,,，，ffAEEAEAEAEAEAEAEA(())[()()]()()()()(),,,i122200311 (4分) ,，,,,()()EAEAA22n,,,1n (4分) 33x,，,i,, ,,,1i
四、证明题 五、解答题
11、证明: 13、解:
,1,2,5,,,,EA,,0得的特征值为，，。 (4分) (1)由，,，,,,,,A(1)、 因为线性无关，所以线性无关。， 12323323
0,,，，,，,,,,,又线性相关，故能由线性表出。 (4分) 112323,,,1,(2)的特征向量为， ,,,111,,,,r()3，，,,,,， 1123,,
1,,,，,,,,(2)、(反正法)若不，则能由线性表出， 4123,,,2,的特征向量为,0， ,22,,,,,k，k，k,,,,不妨设。 04112233,,
0,,,，,,由(1)知，能由线性表出， 123,,,5,的特征向量为,。 (3分) ,133,,,,,t，t,,,不妨设。 111223,,
,k(t，t)，k，k,,,,,,,,,,所以， (3)因为特征值不相等，则正交。 (2分)41**********
，,,,,这表明线性相关，矛盾。 (4分) 234
010,,,,,,12、证明 11,,,,,,,,,,,(4)将单位化得，， (2分)p,0p,1p,,1123213,,,,,,22,1,,,,,,(())()[()()]()EfAEAEEAEAEA，，,，,，，(1) 011,,,,,,
,1,，，,，，,，，,,()()()()()()2EAEAEAEAEA