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02013初等数论练****题及答案
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初等数论练****题一
一、填空题
1、(2420)=27； (2420)=_880_
2、设a，n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2.
3、模9的绝对最º -1 (mod n)，则n是素数。
证明：假设n是合数，即n = n1n2，1 < n1 < n，由题设易知(n - 1)! º -1 (mod n1)，得
0 º -1 (mod n1)，矛盾。故n是素数。
3、证明：设ps表示全部由1组成的s位十进制数，若ps是素数，则s也是一个素数。
证明：假设s是合数，即s=ab，1<a，b<s。则
，其中M＞1是正整数。
由pa＞1也是正整数知ps是合数，这与题设矛盾。故s也是一个素数。
4、证明：若2p + 1是奇素数，则 (p!)2 + (-1)p º 0 (mod 2p + 1)。
证明：由威尔逊定理知 -1 º (2p)! = p!(p + 1)L(2p) º (-1)p(p!)2(mod 2p + 1)，
由此得(p!)2 + (-1)p º 0 (mod 2p + 1)。
5、设p是大于5的质数，证明：p4≡1(mod 240)。（提示：可由欧拉定理证明）
证明：因为240=23×3×5，所以只需证：p4≡1(mod 8)，p4≡1(mod 3)，p4≡1(mod 5)即可。事实上，由j(8)=4，j(3)=2，j(5)=4以及欧拉定理立得结论。
初等数论练****题三
一、单项选择题
1、若n＞1，j(n)=n-1是n为质数的（ C ）条件。

2、设n是正整数，以下各组a，b使为既约分数的一组数是（　D　）。
=n+1，b=2n-1 =2n-1，b=5n+2 =n+1，b=3n+1 =3n+1，b=5n+2
3、使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数C是（　A　）。

4、不是同余方程28x≡21(mod 35)的解为（　D　）。
5
≡2(mod 35) B. x≡7(mod 35) C. x≡17(mod 35) D. x≡29(mod 35)
5、设a是整数，(1)a≡0(mod9) (2)a≡2010(mod9)
(3)a的十进位表示的各位数字之和可被9整除
(4)划去a的十进位表示中所有的数字9，所得的新数被9整除
以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（　C　）。

二、填空题
1、σ(2010)=_4896____；(2010)=528。
2、数的标准分解式中，质因数7的指数是_3。
3、每个数都有一个最小质因数。所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是97。
4、同余方程24x≡6(mod34)的解是x1≡13(mod34) x2≡30(mod34)_。
5、整数n>1，且(n-1)!+1≡0(mod n)，则n为素数。
6、3103被11除所得余数是_5_。
7、=_-1_。
三、计算题
1、判定 (ⅰ) 2x3 - x2 + 3x - 1 º 0 (mod 5)是否有三个解；
(ⅱ) x6 + 2x5 - 4x2 + 3 º 0 (mod 5)是否有六个解？
解：(ⅰ) 2x3 - x2 + 3x - 1 º 0 (mod 5)等价于x3 - 3x2 + 4x - 3 º 0 (mod 5)，又x5 - x = (x3 - 3x2 + 4x - 3)(x2 + 3x + 5) + (6x2 - 12x + 15)，其中r(x) = 6x2 - 12x + 15的系数不都是5的倍数，故原方程没有三个解。
(ⅱ) 因为这是对模5的同余方程，故原方程不可能有六个解。
2、设n是正整数，求 的最大公约数。
解：设知d½22n-1，
设2k|n且2k+1n，即2k +1||n ，
则由2k +1||，i = 3， 5， L， 2n - 1 得d = 2k + 1。
3、已知a=18，m=77，求使axº 1 (mod m)成立的最小自然数x。
解：因为（18，77）=1，所以有欧拉定理知18j(77)≡1(mod 77)。
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又由于j(77)=60，所以x|60，而60的所有正因数为1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30， 60。
于是x