双曲线及其标准方程 (2).ppt

关于双曲线及其标准方程 (2)
第一张，共二十四张，创建于2022年，星期二
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于
常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。
问题2：如果把椭圆定义中于2022年，星期二
消4移项可得：
提取公因式整理得：
整理可得：
两边平方得：
移项可得：
第八张，共二十四张，创建于2022年，星期二
两边同时除以 得：
提取公因式整理得：
由双曲线定义知：
即：
第九张，共二十四张，创建于2022年，星期二
设
代入上式整理得：
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0).
其中c2=a2+b2.
两边同时除以 得：
第十张，共二十四张，创建于2022年，星期二
思考：类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
其中c2=a2+b2.
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).
第十一张，共二十四张，创建于2022年，星期二

① 方程用“－”号连接。
② 分母是 但 大小不定。
③ 。
④如果 的系数是正的，则焦点在 轴上；如果
的系数是正的，则焦点在 轴上。
O
M
F2
F1
x
y
F
2
F
1
M
x
O
y
第十二张，共二十四张，创建于2022年，星期二
小试牛刀
1. 判断下列方程是否是双曲线？若是，求出 及焦点坐标。
答案：
题后反思：
先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
第十三张，共二十四张，创建于2022年，星期二
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
因此，双曲线的标准方程为
题后反思：
求标准方程要做到先定型，后定量。
例1 已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。
即a=4，c=5，
则b2 = c2- a2 = 25 -16 = 9
例题解析
根据已知条件，
第十四张，共二十四张，创建于2022年，星期二
答案: ①
故所求双曲线的标准方程为
跟踪训练
求适合下列条件的双曲线的标准方程。
①焦点在 轴上， ；
② 焦点为 ，经过点 .
②根据双曲线的定义，有
第十五张，共二十四张，创建于2022年，星期二
使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
例2 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
如图所示，建立直角坐标系xOy,
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
即 2a=680，a=340
x
y
o
P
B
A
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
第十六张，共二十四张，创建于2022年，星期二
定 义
方 程
焦 点

F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
椭 圆
双曲线
F（0，±c）
F（0，±c）
第十七张，共二十四张，创建于2022年，星期二
||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c)不要漏了绝对值符号,当2a=|F1F2|时表示两条射线.
,a>b不一定成立,要注意与椭圆中a,b,=b2+c2,在双