函数奇偶性的判定方法.doc

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函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性是函数的一个重要性质，除了直接运用定义法判断外，下面再介绍几种判定方法.
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函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性是函数的一个重要性质，除了直接运用定义法判断外，下面再介绍几种判定方法.
一、定义域判定法
例1 判断函数f(x)＝·的奇偶性.
分析　一个函数是奇(偶)函数，其定义域必须关于原点对称，，则此函数既不是奇函数也不是偶函数.
解　要使函数f(x)有意义，则
解得x≥1，即定义域是{x|x≥1}.
因为定义域不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
评注　用定义域虽不能判断一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称来说明一个函数不具有奇偶性.
二、变式法
例2 判断f(x)＝的奇偶性.
分析　直接验证f(－x)＝±f(x)有困难，可转化为验证＝±1(f(x)≠0).
解　f(x)的定义域为R，关于原点对称.
当x＝0时，f(x)＝0，图象过原点.
因为当x≠0时，＝＝－1，
所以f(－x)＝－f(x).
又f(0)＝0，所以函数f(x)为奇函数.
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评注　为了运算上的方便或是直接运用定义判断较难进行时，常把验证f(－x)＝±f(x)转化为验证其变式：f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0).
三、图象法
例3 判断函数f(x)＝的奇偶性.
分析　本题可用图象法较为直观地判断.
解　作出函数f(x)的图象，如图所示.
因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数.
评注　一些函数的奇偶性可用图象法解决，即图象关于原点对称的函数是奇函数，图象关于y轴对称的函数是偶函数，否则既不是奇函数也不是偶函数.