《基本不等式》教案.doc

《基本不等式》教学设计教材:人教版高中数学必修 5 第三章一、教学目标 1. 通过两个探究实例, 引导学生从几何图形中获得两个基本不等式, 了解基本不等式的几何背景, 体会数形结合的思想; 2 .进一步提炼、完善基本不等式,并从代数角度给出不等式的证明,组织学生分析证明方法,加深对基本不等式的认识,提高逻辑推理论证能力; 3 .结合课本的探究图形,引导学生进一步探究基本不等式的几何解释,强化数形结合的思想; 4 .借助例 1 尝试用基本不等式解决简单的最值问题,通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件( 一正二定三相等) 在解决最值中的作用, 提升解决问题的能力, 体会方法与策略. 以上教学目标结合了教学实际, 将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节. 二、教学重点和难点重点: 应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程; 难点: 在几何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式. 三、教学过程: 1 .动手操作,几何引入如图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标, 会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的, 该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明, 体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的. 探究一:在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗? 在正方形中有 4 个全等的直角三角形. 设直角三角形两条直角边长为, , 4 个直角三角形的面积之和, 正方形的面积. 由图可知,即. 探究二: 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形, 再用这两个三角形拼接构造出一个矩形( 两边分别等于两个直角三角形的直角边, 多余部分折叠). 假设两个正方形的面积分别为和( ),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗? 通过学生动手操作,探索发现: 2 .代数证明,得出结论根据上述两个几何背景,初步形成不等式结论: 若,则. 若,则. 学生探讨等号取到情况, 教师演示几何画板, 通过展示图形动画, 使学生直观感受不等关系中的相等条件,从而进一步完善不等式结论: (1 )若,则;( 2 )若,则请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明. 证法一(作差法): ,当时取等号. (在该过程中,可发现的取值可以是全体实数) 证法二(分析法):由于,于是要证明, 只要证明, 即证, 即,该式显然成立,所以,当时取等号. 得出结论,展示课题内容基本不等式:若,则(当且仅当时,等号成立) 若,则(当且仅当时,等号成立) 深化认识: 称为的几何平均数;称为的算术平均数基本不等式又可叙述为: 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3 .几何证明,相见益彰探究三: 如图, 是圆的直径,点是上一点, , .过点作垂直于的弦,连接. 根据射影定理可得: 由于 Rt 中直角边斜边, 于是有当且仅当点与圆心重合时,即时等号成立. 故而再次证明: 当时, (当且仅当时,等号成立) (进一步加强数形结合的意识,提升思维的灵活性) 4 .应用举例,巩固提高例 1.(1 )用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少? (2) 一段长为 36 米的篱笆围成一个