专题《数列》复习.doc

数列复****基本知识点及经典结论总结
一、数列的概念及简单表示法
:数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
:已知数列的第一项(或前几项),且任何一项与它的前一项(前n项)间的关系可以用一个式子来表示,则这个式子就叫数列的递推关系式。
:①按项数多少,分为有穷数列、无穷数列;
②按项的增减,分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
③按项有无界限,分为有界数列、无界数列。
: .
已知求的方法(只有一种):即利用公式=
注意:一定不要忘记对n取值的讨论!最后,还应检验当n=1的情况是否符合当n2的关系式,从而决定能否将其合并。
二、等差数列
:如果数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。
即.(或).
(1)等差数列的判断方法:
①定义法:为等差数列。
②中项法: 为等差数列。
③通项公式法:(a,b为常数)为等差数列。
④前n项和公式法:(A,B为常数)为等差数列。
如设是等差数列,求证:以bn= 为通项公式的数列为等差数列。
(2)等差数列的通项:或。
公式变形为:. 其中a=d, b= -d.
如①等差数列中,,,则通项;
②首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是_____
(3)等差数列的前和:,。公式变形为:,其中A=,B=.注意:已知n,d, ,, 中的三者可以求另两者,即所谓的“知三求二”。
如①数列中,,,前n项和,则=_,=_______
②已知数列的前n项和,求数列的前项和
(4)等差中项:若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且。
提醒:①等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
②为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);偶数个数成等差,可设为…,,…(公差为2)
三、等差数列的性质:
,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;前和是关于的二次函数且常数项为0.
,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,
则为常数列。
:若是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.
当时,则有,特别地,当时,则有.
如①等差数列中,,则=____;
②在等差数列中,,且,是其前项和,
则A、都小于0,都大于0 B、都小于0,都大于0 C、都小于0,都大于0 D、都小于0,都大于0
,、是等差数列,则
、(、是非零常数)、、,…也成等差数列,而成等比数列;若是等比数列,且,则是等差数列. 如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。
,当项数为偶数时, ;;.
项数为奇数时,