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三次函数性质总结

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三次函数性质的探索
我们已经学****了一次函
化简得：
上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
实际上：其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

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由上又可得以下结论：
是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.
证明 的图象关于对称，则

图象关于直线对称.
若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
证明 图象关于直线对称，则，
，
， 图象关于点对称.
这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
系列探究3：三次函数f（x）图象的切线条数
由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；

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而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。
＝　x3/3＋4/3，求曲线在点（２，４）处的切线方程
解：f´（x）＝x2，f´（２）＝４，
曲线在点（２，４）处的切线斜率为k＝f´（２）＝４
∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y－４＝４（x－２），　
即　y＝４x－４
变式：已知曲线y＝x3/3＋4/3，则曲线过点（２，４）的切线方程——————。
错解：依上题，直接填上答案４x－y－４＝０
错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。
点（２，４）在曲线y＝x3/3＋4/3上，它可以是切点也可以不是。
正确解法：设过点（２，４）的切线对应的切点为（x0，x03/3＋4/3），

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斜率为k=x02，切线方程为y -（x03/3＋4/3 ）=x02（x-x0）
即y=x02x- 2x03/3+4/3
点（2，4）的坐标代入，得4=2x02- 2x03/3+ 4/3，
2 x03-6 x02+8=0 ， ∴x03-3x02+4=0，
又∵x03+1-（3x02-3）=0
（x0+1）（x02-x0+1）-3（x0-1）（x0+1）=0
∴（x0+1）（x02-4x0+4）=0 ∴x0=-1或x0=2
∴切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0
点评：一个是“在点（2，4）”、一个是“过点（2，4）”，一字之差所得结果截然不同。

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系列探究4：一般三次函数的图像：
a>0
a<0
导函数
>0
0
>0
0
图
象
x1
x2
x
x0
x
x1
x2
x
x0
x
从数形结合的视角看三次方程的实数根：
O
O
O
O

x1
x2
x

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三次函数y=f（x）的图象与x 轴交点个数
交点个数的本质是多项式ax3+bx2+cx+d在实数集上怎样进行因式分解，
记ax3+bx2+cx+d=a（x-x1）（x-x2）（x-x3），
（ⅰ）若x1≠x2≠x3，则交点为3个；
（ⅱ）若x1、x2、x3中有两个相等，不妨x1=x2≠x3，则交点为2个。
（ⅲ）若x