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灰色预测法
主讲人:肖文平
内容提要
灰色预测理论
GM(1,1)模型
残差GM(1,1)模型
§1 灰色预测理论
一、灰色预测概述
灰色预测法是近年来发展起来的一种新方法,在预测领域发挥着越来越重要的作用。“灰色”一词来源于控制理论。在控制论中用颜色的深浅表示信息量的多少,如黑色表示信息全无,白色表示信息完全,灰色则表示信息不完全。一个系统内,如果一部分信息是已知的,另一部分信息是未知的,则称之为灰色系统,其重要特征是系统内各因素间不具有确定的关系。社会系统、经济系统、生态系统等都可看作灰色系统。比如,产销系统,在计划经济体制下,产品由商业部门包销,价格由国家物价部门制定,基本不变,产量和销售产值之间存在确定的对应关系,生产和销售系统的结构都是明确的,这时的产销系统可称之为白色系统。而社会主义市场经济条件下的产销系统便不再有上述确定的对应关系了,企业要根据市场信息来决定生产,产销不对路,生产出来的产品便无法实现销售价值;市场价格又是多变的,获得完备的市场信息和价格信息对企业来讲,几乎是不可能的。此时的产销系统便是一个灰色系统。
灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统,即灰色系统进行预测。尽管灰色系统表象复杂,数据散乱,信息不充分,但作为一个系统,必然有其整体功能和潜在的规律,必然是有序的。灰色预测法把影响系统变化的随机变量看作是在一定范围内变化的灰色量,通过对原始数据的生成处理,生成具有较强规律性的生成序列,来寻找系统变动的内在规律,进而建立相应的微分方程,解得预测事物未来发展状况的预测模型。
已有的预测方法,大多依据过去的大量数据,按照统计方法分析其规律,这样不仅受数据量的限制,而且要作出某种假定,准确程度不高。而灰色预测法不需要任何假定,也不必寻找随机变量的概率分布和统计特征,所需数据也不多。这就突破了概率统计法的局限性,便于从系统自身挖掘信息并充分利用信息。
灰色预测法既可用于宏观系统,也可用于微观系统;既可用于短期预测,也可用于长期预测。灰色预测可分为:灰色时间序列预测;畸(灾)变预测;波形预测(也称拓扑预测)和系统预测四类。我们只介绍灰色时间序列预测和畸变预测。
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灰色建模的方法
①累加生成原数据列x(0)得到x(1)
②均值生成x(1)得到z(1)
③写出灰微分模型
④回带数据利用最小二乘法求得参数a,b的估计值
⑤代入a,b的估计值解出相应的白微分方程可得:

⑥还原x(0)(k)=x(1)(k+1)-x(1)(k)
一、生成序列
为了弱化原始时间序列的随机性,为建立灰色预测模型提供信息,需要对原始时间序列进行数据处理,处理后的序列称为生成序列。常用的数据生成处理法有累加生成、累减生成及邻均值生成等。
1)累加生成(白化处理)
就是将原始序列通过累加得到生成序列。
记原始序列为:
记生成序列为:
式中:
上标(1)表示一次累加生成。
同理可作m次累加生成,有:
对于非负序列,累加次数越多,则随机性弱化越多,当累加次数足够大后,可认为时间序列已由随机序列变为非随机序列了。一般随机序列的累加序列,大多可用指数曲线逼近。
例6-1 某县皮棉产量时间序列如下表所列,试求其一次累加生成序列。 某县皮棉产量时间序列数据(单位:万担)
2)累减生成就是将原始序列前后两个数据相减,得到累减生成序列。累减生成序列的第t项为:
序号t
1 2 3 4 5 6
产量X(0)(t)

显然,累减是累加的逆运算。累减可将累加生成序列还原为原始序列。
3)邻均值生成
就是对等时距序列,用相邻数据的平均值构造新的序列。邻均值生成序列的第t项为:
解一次累加生成序列:
§2 GM(1,1)模型及预测应用
GM是英文Grey Model的缩写。GM(1,1)表示由一阶、一个变量的线性微分方程导出的灰色预测模型。
一、 GM(1,1)模型的建立
设时间序列X(0) 有n个观测值:
要求n≥4 。通过累加生成了新序列:
可以证明,原始序列X(0) 作一次累加生成的序列X(1)具有近似的指数规律,称为灰指数律。于是把生成序列X(1) 视为t的连续函数,可建立如下微分方程:
式中,a称为发展灰数;b称为内生控制灰数。式()实际是一个线性动态模型。参数向量记为B=(a,b)T,可按下述步骤,用最小二乘法加以估计:
将式()离散化得如下差分方程:
△X(1)(t)+aX(1)(t)=b
而△X(1)(t)=X(1)(t)–X(1)(t-1)=X(0)(t),
于是有 X(0)(t)+aX(1)(t)=b
X(0)(t)+aX(1)(t)=b
用Z(t) 取代前式中的X