平面几何中的向量方法.docx

一、教学目标
重点: 用向量方法解决平面几何问题的基本方法和基本步骤．
难点：如何构建向量模型将平面几何问题化归为向量问题．
知识点：运用向量方法解决平面几何问题三步曲．
能力点：发展创新意识,提高+ BD2 = I AC I2 + I DB I2 = 2(a2 + b2 + c2)
|AB|2 + |BDI2 = 2iAB2 + 2AD2 = I ab I2 + I BC I2 + I DC I2 + I AD I2
【师生活动】教师可引导学生思考探究，利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题，可否利用向 量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标，如果能比较方便地建立起平面直 角坐标系，如本例中图形很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利 用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？
教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成.
【设计意图】进一步调动学生的思维，引导学生应用不同的向量方法解决典型问题，有利于培养学生 的发散思维能力.
思考3：如果不用向量方法，你能用其他方法证明上述结论吗?
证明:作CF 1AB于F , DE ± AB于E ,
则 RTAADE = RTABCF ,「. AD = BC, AE = BF ,
A
由于 AC 2 = AF 2 + CF 2 = (AB + BF )2 + CF 2
=AB 2 + BF 2 + 2 + CF 2
=AB 2 + BC 2 + 2
BD2 = BE2 + DE2 = (AB - AE)2 + DE2 = AB2 - + AE2 + DE2
=AB2 - + AD2 = AB2 - + BC2
AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2).
【师生活动】教师可引导学生思考探究，学生作辅助线，利用平面几何勾股定理解决问题．
【设计意图】教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，在培养学生发散思维的同时，让学生体 会向量法解决几何问题的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．
四、理解新知
【师生活动】师：通过以上问题的解决，我们总结一下运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个 步骤？
生：运用向量方法解决平面几何问题“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问
题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
师生共同简述：形到向量 n 向量的运算n向量和数到形.
【设计意图】总结解题方法，加深对用向量方法处理平面几何问题的一般步骤的理解，突破重难点．
五、运用新知
探究2,例2如图，平行四边形ABCD中，点E, F分别是AD,DC边的中点，BE,BF分别与AC交
于R,T两点，你能发现AR, RT,TC之间的关系吗?
猜想：AR = RT = TC
【师生活动】分析：由于R,T是对角线AC上的两点，要判断AR,RT,TC之间的关系，只需分别判
断AR, RT, TC与AC的关系即可
解：第一步, 建立平面几何与向量的关系，用向量表示