全概率公式与贝叶斯公式.docx

§1。4全概率公式与贝叶斯公式
教学对象：数学专业本科生
教学目的:让学生掌握全概率公式与贝叶斯公式的应用
课型：新授课
课时：1课时
重点与难点：全概率公式与贝叶斯公式的应用背景、相互的联系与区别以及在实
件A区分红
了若干个互不相容的部分,它们分别表示为AB1,AB2,,ABn，自然，它们中间可能有的是。
全概率公式
在上例中，设B=“记得浇花”，B=“忘记浇花”,则B和B就组成了的
一个区分，设事件A=“花还活着”，则A也被B和B区分为两个互不相容的部
分：AB,AB.
由前面概率的性质知道：

P(A)

P(AB

AB)

P(AB)

P(AB)
P(A|B)P(B)

P(A|B)P(B)
=+


=。
性质

1。（全概率公式）设B1,B2,

,Bn

为样本空间

的一个区分，如果
P(Bi)0,i1,2,,n，则对任一事件A有
n
P(A)P(Bi)P(A|Bi).
i1
证明:略
【例题1】某保险企业把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“莽撞的"。统计资料表示，这3种人在一年内发惹祸故的概率依次为0。05，；如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%，“莽撞的"占30%，一个被保险人在一年内出事故的概率是多大？
解:设B1=“他是谨慎的”，B2=“他是一般的”,B3=“他是莽撞的”，则B1,B2,B3
组成了的一个区分，设事件A=“出事故”，由全概率公式：
3
P(A)
P(Bi)P(A|Bi)
i1

20%

50%

20%
=。

在“浇花”的例子中，我们反过来思考这样一个问题：倘若小王回来，发现花还活着，那么，街坊记得浇花的概率是多大？
即已知结果,要求这个结果是由某种原因所致使的概率，这就是贝叶斯公式解决的问题。
。4（贝叶斯公式）
设B1,B2,,Bn
是样本空间
的一个区分，则
P(Bi|A)n
P(Bi)P(A|Bi)
,i1,2,,n.
P(Bj)P(A|Bj)
j
1
证明：略.
回到上面的例子中,能够求出当发现花还活着，街坊记得浇花的概率
P(B)P(A|B)


.
P(B|A)
P(B)P(A|B)


P(B)P(A|B)

【例题2】
某地域居民的肝癌发病率为
0。0004，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究
表示，化验结果是存在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果
99%呈阳性（有
病)，而没有患有肝癌的人其化验结果99。9