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2023上海春考
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2023年上海市春季高考数学试卷

一. 填空题〔本大题共12题，总分值54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分〕
1. 不等式的解集为
2. C. 3 D. 4
15. 设为数列的前项和，“是递增数列〞是“是递增数列〞的〔 〕
7
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
16. A、B为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点、，满足，，，那么动线段所形成图形的面积为〔 〕
A. 36 B. 60 C. 72 D. 108
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三. 解答题〔本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分〕
17. .
〔1〕假设，且，求的值；
〔2〕求函数的最小值.
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18. ，双曲线.
〔1〕假设点在上，求的焦点坐标；
〔2〕假设，直线与相交于、两点，且线段中点的横坐标为1，求实数的值.
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19. 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线〞的几何原理，某快餐店用两个射灯〔射出的光锥为圆锥〕在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点、、在抛物线上，是抛物线的对称轴，于，米，米.
〔1〕求抛物线的焦点到准线的距离；
〔2〕在图3中，平行于圆锥的母线，、是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小〔°〕.
〔图1〕 〔图2〕 〔图3〕
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14
20. 设，函数.
〔1〕假设，求的反函数；
〔2〕求函数的最大值〔用表示〕；
〔3〕设，假设对任意，恒成立，求取值范围.
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21. 假设是递增数列，数列满足：对任意，存在，使得
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，那么称是的“分隔数列〞.
〔1〕设，，证明：数列是的分隔数列；
〔2〕设，是的前项和，，判断数列是否是数列的分隔数列，并说明理由；
〔3〕设，是的前项和，假设数列是的分隔数列，求实数、的取值范围.
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参考答案
一. 填空题
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1. 2. 3 3. 4. 2 5. 15
6. 7. 5 8. 180 9. 4 10.
11. 12.
二. 选择题
13. A 14. C 15. D 16. B
三. 解答题
17.〔1〕；〔2〕.
18.〔1〕，；〔2〕.
19.〔1〕；〔2〕°.
20、解析：〔1〕；
〔2〕，设，
那么，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，即；
〔3〕，设，因为，
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所以，那么，假设，
1°当时，即，单调递减，所以，
那么，且，故满足，符合题意；
2°当时，即，那么，
那么，因为，故不符合题意，舍去；
综上：。
21、解析〔1〕依题意得，
因为，于是，可得，，故存在这样的，使得，所以数列是的分隔数列，得证；
〔2〕，又因为是的前项和，所以，
假设数列是否是数列的分隔数列，那么必定存在，使得，
代入不并化简