数学建模试验报告-微分方程.doc

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数学建模试验报告〔四〕
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班级
问题：〔微分方程〕
讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系.
〔1〕假设国民平均收入*与按人口平均资金-
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数学建模试验报告〔四〕
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班级
问题：〔微分方程〕
讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系.
〔1〕假设国民平均收入*与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.
〔2〕作出k(*)和r(*)的示意图，分析人口激增会引起什么后果.
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问题的分析和假设：
问题分析：
人口增长与国民收入增长的关系决定人均国民收入指标的变化，人均国民收入与人口增长成反比，与国民收入增长成正比。总资金增长与人口增长都满足指数增长，由题意知：国民平均收入与人口平均资金积累成正比，设此比例系数为a。
在国家统计局查询得：2012年，我国大陆总人口数为134735万人，总资金〔国生产总值〕，则a的值约为1。
问题假设：
为t时刻总资金积累量
为t时刻的人口数量
为t时刻国民平均收入量
为人口平均资金积累
k为总资金的相对增长率
r为人口的相对增长率
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建模：
由分析及假设可列出如下方程：
一定时期后，增长的人口数量为：；总资金增长量为；
由题意知：

由上述公式，微分得：
所以当k>r时，国民收入增加，即国民平均收入增加。
列微分方程如下：



求解的Matlab程序代码：
，，如下：
function d*=lab4(t,*)
d*=zeros(3,1);
k=;
r=;
a=1;
d*(1)=k**(1);
d*(2)=r**(2);
d*(3)=a*(k-r)**(3);
主程序：
[t,*]=ode45('lab4',[2011 2100],[134735 4715640000 ]);
figure(1),plot(t,*(:,1),'k*')
*label('时间[年]'),ylabel('总资金积累量[亿元]')
figure(2),plot(t,*(:,2),'m-')
hold on
*label('时间[年]'),ylabel('人口总数')
figure(3),plo