第六章 主应力法及其应用.ppt

第六章主应力法及其应用
解析法的求解思路
1、基本假设
(1)      连续的,宏观的
(2)       确定的
描述方程+边界条件求定解
2、描述方程,基本方程
平衡方程几何方程物理方程屈服准则
边界条件连续方程塑性变形体积不变
(1)平衡方程
(2)几何方程
(3)物理方程
弹性
塑性
增量理论
全量理论
弹塑性
增量理论
Sij
Sij
Sij
Sij
Sij
i
i
i
i
eij
(4)边界条件
物体外表面为S,Sd和St分别表
示位移和外力
位移给定值
外力给定值
(5)补充方程
屈服准则
连续方程
塑性变形体积不变
有3+3个方程
3、求解
在边界条件
下求解
4、基本解法
位移法
以位移为未知量,经过几何方程和物理方程,得到一位移表示的应力诸分量。然后带入平衡方程,得到位移表示的平衡方程。在边界条件下,从平衡方程解出连续且单值的位移。再按几何方程求出,此时将自动满足协调方程。进而按物理方程求出,此时将满足平衡方程。
ui
几何方程
物理方程
平衡+边界
( ui)
物理方程
以满足平衡条件的应力诸分量为未知量,经过物理方程得到应力表示的应变诸分量再利用几何方程的积分应变求位移ui时,要求积分为单值,即积分只依赖于积分路线,必须使被积函数满足全微分条件;对几何方程求积分的全微分条件就是变形协调方程。为保证此条件成立,应将以应力表示的应变诸分量带入协调方程,结合边界条件解出,再按物理方程求相应的应变分量,此时利用几何方程积分,即可得到单值的位移分量ui。
应力法
物理方程
协调方程+边界条件
物理方程
几何方程
ui
5、主应力法的基本方法(切块法)
实质是将应力平衡微分方程和屈服方程联立求解。
将问题简化成平面问题或轴对称问题。
根据金属的流动趋向和所选取的坐标系,对变形体截取包括接触面在内的基元体或基元板块,切面上的正应力假定为主应力,且均匀分布。
不考虑剪应力对材料屈服方程的影响。
平面应变镦粗型的变形力对称,取一半作为对象
设
设长度为l
屈服方程为
联解(1)(2)得
……(1)
……(2)
σy
金属流动方向
镦粗
方向
x
σye
xe
x
dx
τ
σy
σy
τ
σx
σx+dσx
σye
h
平行砧板间平面应变镦粗及垂直应力σy的分布图形
最后得
单位面积平均变形力为
当工件宽度为b高度为h时
……(3)
……(4)
工件外端为自由表面
由(3)得
……(5)
……(6)
由(4)得
金属流动方向
镦粗
方向
x
σye
xe
x
dx
τ
σy
σy
τ
σx
σx+dσx
σye
h
平行砧板间平面应变镦粗及垂直应力σy的分布图形