高考数学压轴题集锦——导数及其应用.docx

2019-2020年高考数学压轴题集锦
导数及其应用
，一一 a
(x) = ln x . x
(1)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围;
2 v
(2)证明：当a之一时，f(x) >e^.x2 2e
.某工艺品厂要设计一个如图 1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图 2所示，
其周长为4m,这种材料沿其对角线折叠后就出现图 ，ABCD (AB>AD) 为长方形的材料，沿 AC折叠后AB'交DC于点P,设4ADP的面积为S2 ,折叠后重合部 分4ACP的面积为& .
(I )设AB =xm,用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
(n )求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？
(出)求面积(Si十2s2 )最大时，应怎样设计材料的长和宽？
取
2x
.已知 f (x )=e +ln(x + a).
(1)当a =1时，求f (x)在(0,1)处的切线方程；
(2)若存在小 w此依)，使得f (% )<2ln (x0 +a )+x2成立，求实数a的取值范围
2
.已知函数f (x )=ax(ln x —1 )—x (aw R)恰有两个极值点xi,发，且xi < x2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)若不等式in xi +%ln x2 >1 +八恒成立，求实数 九的取值范围.
.已知函数 f (x) = (inx — k — 1) x (k C R)
(1)当x> 1时，求f (x)的单调区间和极值.
(2)若对于任意xC[e, J],都有f (x) v 4lnx成立，求k的取值范围.
(3)若 x1我2,且 f (x1)=f (x2),证明：x1x2〈e2k.
x 1 2
f(x)=ae x -x (a= R). 2
(i)若曲线 y=f(x )在点(0, f (0))处的切线与y轴垂直，求a的值;
(n)若函数f (x)有两个极值点，求 a的取值范围；
1
(出)证明：当 x >1 时，e in x >x --.
x
(x) =
1 3 2
x - 2x
3
+ 3x + b(b? R).
(1)当b=0时，求f (x)在［1,4］上的值域；
(2)若函数f (x)有三个不同的零点，求 b的取值范围
1 2
.已知函数 f(x)=-ax —lnx — 2. 2
(1)当a=1时，求曲线f (x)在点(1, f (1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
,一. 1 一 ・
.已知函数f(x)= +lnx在［1,七叼 上为增函数，且 6W(0,n).
xsin 二
(I)求函数f(x)在其定义域内的极值;
2e
(n)右在［1,e］上至少存在一个x0,使得kx0 - f (x0) ＞一成立，求实数k的取值氾围.
x。
参考答案
一，， a
1.(1)函数 f (x) = ln x+—的7E义域为(0,~). x
, a - 1 a x - a
由 f (x) = In x +—，得 f '(x) = - -- =—2-. x x x x
①当aM0时，f (x) >0恒成立，函数f (x)在(Q+整)上单调递增，
又 f (1) =ln 1 +a = a <0,xt 十0 f (x)t 十妙，
所以函数f (x)在定义域(0,2)上有1个零点.
②当 a >0 时，则 xw(0,a)时，f'(x) <0;xw (a, - )时，f H(x)>0.
所以函数f (x)在(Qa)上单调递减，在(a,y)上单调递增.
1 一 一
当 x = a[ f (x)]min =m2++1£0,即 0<aW—时，又 f(1) = ln1 + a = a>0, e
所以函数f (x)在定义域(0,+g)上有2个零点.
1
综上所述实数a的取值范围为(-笛,1].
e
a 一
力斛：函数 f (x) = ln x +—的定义域为(0,+b). x
a
由 f(x)=lnx+—,得 a=-xlnx. x
令 g( x) = —xln x ,则 g1r(x) = -(ln x +1).
、“ ，_ 1、 .1 、
当 x=(0,—)时，g(x)>0;当 x=(一,依)时，g(x)<0. e e
〜 一 1 ，、…一， 1 ，、，、一，，
所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(」，—)上单调递减.
e e
一 1 1 1 1 1
故*=一时，函数g(x)取得最大值g(—) = ——ln —=一.
e e e e e
1
因xt n, f (x