黑龙江鸡西第十九中学2017届高考数学一轮复习学案导数专题.docx

《导数》专题
2016年( )月( )日 班级 姓名
求切线的方程
问题1 怎样求曲线f(x)在点(X0, f(X0))处的切线方程？
答案 根据导数的几何意义，求出函数 y=f(x)在点(X0, f(X0))处的导数，即曲线在该点e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积
为.
导数的运算法则
设两个函数分别为 f(x)和g(x)
两个函数的
和的导数
[f(x) + g(x)]' =
两个函数的
差的导数
[f(x) —g(x)]'=
两个函数的
积的导数
[f(x)g(x)]'=
两个函数的
商的导数
例1求下列函数的导数:
(1)y=3x-lg x;
(2)y= (x2 + 1)(x- 1);
小结 本题是基本函数和（差）的求导问题，求导过程要紧扣求导法则， 联系基本函数求导法则， 对于
不具备求导法则结构形式的可先进行适当恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数 ^
训练1 求下列函数的导数:
(1)f(x)= x tan x;
. 2x
(2)f(x)=2 —2sin 2；
x — 1
(3)f(x) = -；
x I I
(4)f(x) =
sin x
1 +sin x
【探究点二】导数的应用
例2 (1)曲线y=xex+ 2x+1在点(0,1)处的切线方程为 .
解析 y' =ex+ xex+2,则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为 k= e°+0+2=3,所以所求切线方程为 y —1 = 3x,即 y=3x+ 1.
(2)在平面直角坐标系 xOy中，点P在曲线C: y=x3-10x+3±,且在第二象限内，已知曲线 C在 点P处的切线斜率为2,则点P的坐标为.
t 1 2 ,
(3)已知某运动着的物体的运动万程为 s(t) = 一二+ 2t (位移单位：m,时间单位：s),求t = 3 s时物体
的瞬时速度
小结 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数 y=f(x)在点X0处的导
数就是曲线y=f(x)在点P(xo, yo)处的切线的斜率，即 k=y'碍xo = f' (x。)；瞬时速度是位移函数 s(t) 对时间t的导数，即v=s' j.
训练2 (1)曲线y =
sd曝7一1在点啃0处的切线的斜率为
7t
A. -2

C.-12
(2)设函数f(x) = ；x3—2x2+bx+c,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0, f(0))处的切线方程为 y=1,确定 b、c的值.
.设 y=—2exsin x,则 y'等于
A. — 2excos x B. — 2exsin x
x D. — 2ex(sin x+ cos x)
( )
=2x- 1
= — 2x+ 2
)
c 10
Dw
x
.曲线y=——在点(—1 , — 1)处的切线万程为 x+ 2
= 2x+ 1
=— 2x— 3
.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f (-1)=4,则 a 的值是(
.已知 f(x)=$3 + 3xf' (0),则 f' (1) =
.已知抛物线y=ax2+bx+c过点（1,1）,且在点（2, — 1）处与直线y=x —3相切，求a、b、c的值.
般地，在区间（a, b）内函数的单调性与导数有如下关系:
导数
函数的单调性
f' (x)>0
单调递_
f' (x)<0
单调递—
f' (x) = 0
常函数
例1已知导函数f' (x)的下列信息:
当 1<x<4 时，f' (x)>0;
当 x>4,或 x<1 时，f' (x)<0;
当 x=4,或 x=1 时，f' (x)= 0.
试画出函数f(x)图象的大致形状
小结 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符 合题意就可以了 .
训练1函数y=f(x)的图象如图所示，试画出导函数 f' (x)图象的大致形状.
例2求下列函数的单调区间: (1)f(x)=2x(ex-1)-x2;
(2)f(x)=3x2—2ln x.
小结 求函数的单调区间的具体步骤是
⑴确定f(x)的定义域；(2)计算导数f' (x);(3)求出f' (x)=0的根(也可以直接解f' (x)>0和f' (x)<0);
(4)用f' (x) = 0的根将f(x)的定义域分成若干区间，列表考查这若干个区间内 f' (x)的符号，进而确
定