高中数学奥赛系列辅导材料.pdf

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同一个集合中的元素，这两个数中，必有一个可被另一个整除。
说明 ：把一个集合分成若干个两两不交的子集的并，也则分拆，这种分拆的方法
在解决集合的问题时为常用方法之一。
例 3：某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学 21 个 ，
物理 19 个，化学 20 个，数学物理都优秀 9 人，物理化学都优秀 7 人。化学数学都 优
秀 8 人。这个班有 5 人任何一科都不优秀。那么确定这个班人数以及仅有一科优秀 的
三科分别有多少个人。
分析： 自然地设 A={ 数学总评优秀的人 }
B={ 物理总评优秀的人 }
C={ 化学总评优秀的人 }
则已知 |A|=21 |B|=19 |C|=20这表明全班人数在 41 至 48 人之间。
仅数学优秀的人数是
可见仅数学优秀的人数在 4 至 11 人之间。
同理仅物理优秀的人数在 3 至 10 人之间。
同理仅化学优秀的人数在 5 至 12 人之间。
解 ：（ 略 ）。
说明 ：先将具体的实际生活中的问题数学化，然后根据数学理论来解决这个
问题不仅是竞赛中常见情况，也是在未来学****中数学真正有用的地方。
例 4： n 元集合具有多少个不同的不交子集对？
分析： 我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可
以求出总的子集对来了。
解 ：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集 ，
则第一个子集 若是 k 个元素，第二 个子集就 由其余 n-k 个元素组成， 可能的情 况是
种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为 种，那么 k 从 o 变到 n，总的 情
况可能就是 。如果子集对是无序的，即两个子集相同但
次序不同的子集对不认为不同，则 对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而 对
其它 个有序对，每一对中交换两 个子集的次序， 得到的是同一个无 序子集对，
因此有 个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集对的总数
为
分析二： 我们可以从元素的角度来思考问题。对一个元素来说，它有三种不
同的选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。
解法二 ：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第
一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对
的总数 ，以下同解法一。
说明：本题为 1973 年捷克的竞赛题，对题目的不同分析使我们得到了差异 很大的两个解法，解法一从题目要求想起，很容易想到，但解出最后解却不见得那么简
单，而解法二的想法是类似于集合分析的想法，很难想到，但想出后比较容易求解，
两个解法对比一下正体现了数学思维的两方面，一个是纯代数想法，以计算的方法替
代对题目更深层次的研究，另一个则是控掘题目本身的内在关系，找出最合适的解答 ，
我们当然推荐第二种做法。
例 5：1992 位科学家，每人至少与 1329 人合作过，那么，其中一定有四位 数
学家两两合作过。
分析：在与一个人 A 合作的人中我们找到 B。再说明一定有人与 A 和 B 都 合
作过为 C。最后再说明有人与 A、 B、 C 都合作过为 D，那么 A、 B、 C、 D 就是找的
人了。
证 明 ： 一 个 人 A 。 不 妨 设 B 与 之 合 作 。 那 么
。即 C 与
A 和 B 均 合 作 过 ， 分 别 表 示 与 A 、 B 合 作 过 的 人 的 集 合