中国海洋大学《理论力学》分类03碰撞问题.doc

碰撞问题(补充)
物理实质:动量定理或动量守恒律的应用;
动量矩定理或动量矩守恒律的应用。
关键:①碰撞过程的分析,分别找出碰撞前后瞬时碰体的状态及其物理参量。
②考察受力情况,看常规力可否忽略,判断是否存在守恒量,写出动量或动量矩所满足的关系式。
③分析碰撞类型,正确表达恢复系数。
难点:物理过程的分析和参量表达。
一:碰撞的特点
作用时间极短。(可不考虑碰撞期间的位移)
冲击力极大。(一般可忽略其它常规力,但过程约束力除外)
冲量,即动量变化为常规量级。
一般情况动量守恒,但机械能不一定守恒。
二:碰撞过程
*两光滑球体碰撞
:,;,
:形变,球心距,沿球心连线。
:形变最大,球心距最小,两球沿球心方向速度相等
:形变,球心距,亦沿球心连线。
:,,,,形变和球心距不在发生变化。
*135
压缩冲量:
恢复冲量:
三:恢复系数:(恢复冲量与压缩冲量大小之比)
分析可知,给出,所以有
。
同理,给出,所以有。
——牛顿公式
*球对固定面碰撞
正碰: (h为下落高度,为弹起高度)
斜碰: (为入射角,为反射角)
*考虑碰撞时仅讨论了法向运动,恢复系数的表达式中皆为法向速度分量。在切向无冲击力,有动量守恒,( 两球相碰有,),原因:只考虑光滑情况。
四:碰撞类型

例题1:由同一种材料支撑的质量为和的两个小球,都被长度为的轻绳挂着,两者在自然状态下刚好无作用力的接触。现将A球拉过偏角后无初速的释放,则它在到达最低点时将撞击B球,假如B球能够产生的最大偏角为β,试求小球的恢复系数e。
解:碰前A球的下落过程机械能守恒:
得: ①此即A碰撞前的瞬时速度。
碰前B求静止: ②
设碰后A球的速度为,B球为,则碰撞过程的动量守恒表达为:
③
碰后B球上升过程机械能守恒:
④
①和④代入③可解的:
⑤
①,②,④,⑤代入恢复系数公式有:
例题2:三个质点的质量分别为,,,由拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连,静止放在水平桌面上,如图所示。两绳的夹角,若对质点C施加一个冲击力,其冲量大小为I,方向沿BC,试证明:
作用后瞬时,B的运动方向与AB 的夹角满足关系式
。
作用后瞬时A点速度为:
证明:把三者看作一质点组,因为绳子是拉直不可伸长的,所以冲击后瞬时A点的速度沿AB,C点速度沿BC,而且沿绳速度相等,即:
①
在冲击力作用过程中,沿着BC方向应用动量定理:
②
在垂直BC方向上,质点组不受力,故动量守恒:
③
①,②,③联立求解,即可得:
(1)得证
(2)得证
例:)
证明:设两球质量都为m,碰前速度分别为:,碰后,
则:撞时不计外力,其动量守恒,有:
即:
完全弹性碰撞,其机械能守恒:
即:(2)
由①式我们知道: (3)
③和②比较得到:,即
故两球在碰后的速度互相垂直这一结论得证。
例:)
解:因为两球相同,设其质量皆为m,且碰前速度分别为,碰后,碰撞时的角度关系如图所示,则:
由恢复系数定义知:
即:(1)
y 方向上动量守恒,有:
即:(2)
x 方向上动量守恒,有:(3)
由②得:代入①式得:
将和代