2022年平面向量四心问题.docx

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近年来,对于三角形的“ 四心” 问题的考察时有发生,特别是和平面对量相结合来考
察很普遍,难度上偏向中等,只要对于这方面的学问预备充分,就能 - - - - - -
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③
设
0
,
,就向量
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BC,该向量必通过△
ABC
〔
AB
AC
〕
必垂直于边
AB
cos B
AC
cos C
的垂心
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
△ ABC中
AB
AC
肯定过 BC 的中点,通过△
ABC的重心
点 O是△ ABC的外心
2
OA
2 OB
OC
2
点 O是△ ABC的重心
OA
OB
OC
0
点 O是△ ABC的垂心
OA
OB
OB
OC
OC
OA
点 O是△ ABC的内心
a
OA
b
OB
c
OC
0
〔 其中 a、b、 c 为△ ABC三边 〕
△ ABC的外心 O 、重心 G 、垂心 H 共线,即 OG ∥ OH
设 O为△ ABC所在平面内任意一点,
G为△ ABC的重心,,I 为△ ABC的内心,
就有
OG
1
〔 OA
OB
OC
〕
OI
a
OA
a
b
OB
c
c
OC
3
b
并且重心
G（
XA+XB+XC
,
YA+YB+YC
）
内心 I （
aXA+ bXB+ cXC
,
ayA+ byB+ cyC
）
3
3
a+b+c
a+b+c
例 1：（2003 年全国高考题）
O是平面上肯定点,
A、B、C 是平面上不共线的三点,动
点 P 满意 OP OA 〔 AB AC 〕, 0 , ,就动点 P的轨迹肯定通过△ ABC的（ ）
AB AC
（A）外心 （B）内心 A F
（C）重心 （D）垂心 E C
T
事实上如图设 AE AB , AF AC
都是单位向量
AB AC B
易知四边形 AETF是菱形 应选答案 B
例 2 ：（ 2005 年北京市东城区高三模拟题） O为△ ABC 所在平面内一点,假如
OA OB OB OC OC OA,就 O必为△ ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事 实 上 OA OB OB OC 〔 OA OC 〕 OB 0 CA OB 0 OB ⊥ CA
应选答案 D
名师归纳总结
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例 3：已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点,且满意
OA
2
BC
2
OB
2
CA
2
OC
2
AB
2
,就点 O 是三角形 ABC 的（
）
（D）垂心
（A）外心
（B）内心
（C）重心
事实上由条件可推出
OA
OB
OB
OC
OC
OA
应选答案 D
例 4：设 O 是平面上肯定点,
A、B、C是平面上不共线的三点,
动点 P 满意 OP OA 〔 AB AC 〕, 0 , ,就动点 P 的轨迹肯定通
AB cos B AC cos C
过△ ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上 〔 AB AC 〕 BC 〔 BC BC 〕 0 应选答案 D
AB cos B AC cos C
例 5 、 已 知 向 量 OP OP OP 3 满 足 条 件 O P O P O P,
| OP 1 | | OP 2 | | OP 3 | 1,求证： △ PP P 3 是正三角形．
分析 对于此题中的条件 | OP 1 | | OP 2 | | OP 3 | 1,简洁想到,点 O 是△ PP P 3 的
外心,而另一个条件 OP 1 OP 2 OP 3 0 说明,点 O 是△ PP P 3 的重心．
故此题可描述为,如存在一个点既是三角形的重心也是外心,就该三角形一
定是正三角形．在 1951 年高考中有一道考题,原题是：如一三角形的重心与外
接圆圆心重合,就此三角形为何种三角形？与此题实质是相同的．
明显,此题中的条件
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OP 1
| |