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导数问题中虚设零点的三大策略.doc


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导数问题中虚设零点的三大策略
导数在高中数学中堪称“神通广阔”,是解决函数单一性、极值、最值、不等式证明等问题
的“利器”
题时,我们经常X<X0时,G′〔X0〕x0时,g′〔x0〕>0,g〔x〕单一递增.
评析在本题中,在确定出函数g′〔x〕=ex-1x+2在〔-2,+∞〕上存在唯一的零点x0后,无法直接求解x0,在形式上虚设后,经过对x0知足的等式条件ex0=1x0+2,x0=-ln〔x0+2〕的合理代换使用,迅速将超越式g〔x0〕=ex0-ln〔x0+2〕化简为普通的代数式g〔x0〕=1x0+2+x0,为证貌似不可能证的不等式g〔x0〕>0打扫了障碍.
例3〔2012年全国新课标卷文21第2问〕设函数f〔x〕=ex-ax-=1,k为整数,且当x>0时,〔x-k〕f〔′x〕+x+1>0,求k的最大值.
解由于a=1,所以〔x-k〕f′〔x〕+x+1=〔x-k〕〔ex-1〕+x+1>〔x〕=x+1ex-1+x,原命题k评析本题中,在确定出h〔x〕=ex-x-2在〔0,+∞〕上存在唯一零点的情形下,经过虚设零点x0,并借助ex0=x0+2来简化g〔x0〕=x0+1ex0-1+x0,为估计g〔x0〕,让我们感觉到“峰回路转又一村”的奇妙诗意.
如果f〔′x〕不是超越形式,而是可转变为二次函数,这时很容易想自然,用求根公式把零点求出来,,要么无法化简,复杂的算式让人无处下手,“思路简单,过程恼人”:
策略2反代消参结构对于零点的单一函数
如果问题要求解〔或求证〕的结论与参数无关,这时我们一般不要用参数来表示零点,而是反过来用零点表示参数,然后把极值函数变成了对于零点的单一函数,再次求导便可解决相应函数的单一性、极值、最值、不等式证明.
例4〔2014年全国高考新课标Ⅱ卷文21第2问〕已知函数f〔x〕=x3-3x2+x+2,曲线y=f〔x〕在点〔0,2〕处的切线与x轴交点的横坐标为-:当k<1时,曲线y=f〔x〕与直线y=kx-2只有一个交点.
解曲线y=f〔x〕与直线y=kx-2只有一个交点g〔x〕=f〔x〕-kx+2的图象与x轴只有
〔x〕=x3-3x2+〔1-k〕x+4,g′〔x〕=3x2-6x+1-k.
〔1〕当=36-12〔1-k〕=24+12k≤0,即k≤-2时,g′〔x〕≥0,所以g〔x〕〔-1〕=k-1<0,g〔0〕=4>0,所以存在唯一x0∈〔-1,0〕使得g〔x0〕=0,所以g〔x〕的图象与x轴只有一个交点.
〔2〕当=36-12〔1-k〕=24+12k>0,即-2<K0,g′〔1〕=-2-k<0,所以0<X1<1,
1<X20,g〔x〕在〔-∞,x1〕内为增函数;当x∈〔x1,x2〕时,g′〔x〕<0,g〔x〕在
x1,x2〕内为减函数;当x∈〔x2,+∞〕时,g′〔x〕>0,g〔x〕在〔

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