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帮你归纳总结(六)导数中的恒成立问题[来源学优高考网282056].doc

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帮你归纳总结(六）：导数中的恒成立问题
一、常有基本题型：
1）已知某个不等式恒成立，去求参数的取值范围；
2）让你去证明某个不等式恒成立。
解此类问题的指导思想是：构造函数，或参变量分别后构造函数，
处获得极值，若对任意x
[1,1],不等
2
3
6
3
式|a
Inx|
In[f/
(x)
3x]
0恒成立,
务实数a的取值范围．
解：函数的定义域为
x|x
2
又f'(x)
3
mx，
3
3x
2
由题设f(x)在1处获得极值，∴
f'(1)
0，即或1
m
0,m
3。
3
3
3
3
∴f'(x)
2
3x。
3x
不等式|
a
Inx
|
In
[
f
'(
)
3
x
]
0
恒成立，
x
即|a
Inx|
3
0
恒成立。
In
3x
2
又x[1,1],
∴In
3
[0,6]，当且仅当x
1时In
3
0，
6
3
3x
2
5
3
3x
2
故aIn
1
时，不等式|aInx|In[f'(x)3x]
0恒成立。
3
2、设函数f(x)=
lnx-px+1
（Ⅰ）求函数f(x)的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的
x＞0，恒有f(x)0，求p的取值范围；
解：（1）
f(x)
lnx
px
1,
f(x)的定义域为(0,
)，
f
(x)
1
p
1px
x
x
当p
0时，f(x)
0,f(x)在(0,)
上无极值点
f(x)
0，x
1
),f
(x)、f(x)随x
(0,
当p>0时，令
p
的变化状况以下表：
x
1
1
(1,+?)
(0，p)
p
p
f'(x)
+
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
1
p>0时，f(x)有独一的极大值点
x
从上表可以看出：当
p
1
f(1)=ln

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