专题15导数法妙解不等式、函数零点、方程根的问题-备战2019年高考高三数学热点难点一网打尽.pdf

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，即 在 为减函数；当 时， ，
即 在 为增函数所以 ---------------①
又因为 ，即 带入①中得
令 ，
当 时， ，即 在 为减函数，
【点睛】
本题考查了导函数在函数中的综合应用，利用导数判断函数的单调性，并证明不等式，综合性强，对思维
能力要求高，属于高考中的压轴题，属于难题。
类型二、利用导数解决存在型不等式成立问题
【例 2】【广东省深圳市 2018 届高考模拟测试二】已知向量 ， ， （ 为常数，
是自然对数的底数），曲线 在点 处的切线与 轴垂直, ．
（Ⅰ）求 的值及 的单调区间；
（ Ⅱ ） 已 知 函 数 ( 为 正 实 数 ), 若 对 于 任 意 ， 总 存 在 ， 使 得
，求实数 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ， 的增区间为 ，减区间为
（Ⅱ）由 ，
由
的增区间为 ，减区间为
（II） 对于任意 ，总存在 ， 使得 ，
由（I）知，当 时， 取得最大值 .
对于 ，其对称轴为
当 时， ， ，从而
当 时， ， ，从而
综上可知：
类型三、利用导数证明不等式
【例 3】【江西省南昌市 2017-2018 学年度高三第二轮复****测试卷（八）】已知函数 ，斜率为 的直
线 过点 ，其中 .
（Ⅰ）若函数 的图象恒在直线 的上方（点 除外），求 的值；
（Ⅱ）证明： .
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）构造函数 ，求导得 由于 ，所以最小值必为 单调性
说明其它情况不满足题意，（2）当 时， ，再利用等差数列求和公式得结
果.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）当 时，
所以 ，即 ，令
累加得： .
即 .
【点睛】
对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法 , 使不等式一端是含有参数的式
子，另一端是一个区间上具体的函数，，
根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
类型四、利用导数研究方程的根或函数的零点
【例 4】【湖北省武汉市 2018 届高中毕业生四月调研