多分辨率分析和正交小波变换课件.ppt

第四章 多分辨分析和 正交小波变换
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如前所述，小波变换可以将时域信号分解为若干子频段的时域分量之和，那么如何构造小波函数？本章将给出框架理论及多分辨率分析方法。
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应包含在高分辨率的空间V0 中，即：
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假定基本采样间隔为 ， j尺度下的采样间隔为
，在该尺度下划分的节点为 ，采样值为 ，为了逼近原函数，选定基函数为 ，这种基函数是由同一函数 经过平移放缩生成，如 ，于是可作出j尺度下 的近似函数：
从上式可以看出 实际上是函数在该尺度基函数上的投影。
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如何确定这些系数 ，最方便的做法是采用内插型基函数，这样 刚好是函数在样本点的值，避免另行计算这些系数。
逼近的方法包括阶梯型函数逼近、梳状函数逼近、折线函数逼近、样条函数逼近等。
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3、 多尺度逼近中函数子空间的相互关系
在多尺度逼近中，若尺度j和基函数 给定，不同的组合系数 对应着不同的 ，这些函数可归为同一类函数，均由相同的基函数
描述出来，都是平方可积的，记为：
为线性函数空间，且 。改变尺度j，可得到不同的线性空间 ，由 逼进 的过程，可形成如下子空间序列：
称 是一个嵌套式子空间逼进序列。
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4、 多尺度逼近中的正交基表示
在多尺度逼近过程中，用到了的基函数序列 ，同一尺度中各基函数可以是平移正交的，也可以是平移非正交的。假设是标准正交基，则：
这给近似函数的表示带来方便.
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公式：
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5、多尺度逼近的基本条件——Riesz基
按照逼近要求，有：
（平方可积）
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根据 和 的一一对应关系， （平方可和)
——Riesz基条件
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多分辨分析（Multi-resolution Analysis）
将多尺度逼近总结如下：
1）
2）
3） 是Riesz基。
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1986年．(Multi-resolution Analysis，简称MAR）.
MRA是指一系列嵌套式子空间逼进序列 ，满足如下要求：
1）
2）
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3）
4） 是Riesz基。

生成了MRA，称为尺度函数或MRA的称为生成元。
二者比较:
差别一: 红色显示部分；
差别二：后者强调双尺度方程。
（双尺度方程）
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MRA的含义
●1、 生成MRA
双尺度方程明确了V0和V1之间的传递关系，现在推导 和 之间的传递关系。
● 2、MRA确定了 的子空间直和分解关系
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按照前面的分析，毕竟 不等于 ，也即 比 对f(t) 近似的好，但二者之间肯定有误差。这一误差是由 和 的宽度不同而产生的，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为
该式的含义是： f(t)在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。
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设有一基本函数
细节 属于子空间 ,由基函数 张成。
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同时，
（
）
推而广之
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●3、 MRA明确了 的结构
因为 , 可由 中的基函数线性表示：
同样 ,它的基函数记为 ，也可以用中的基函数线性表