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函数定义域、值域求法
一、定义域是函数中的自变量x的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手:
(1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。
(3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)y=tanx中x≠kπ+π/2;y=cotx中x≠kπ等等。
( 6 )中x
二、值域是函数中y的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法(2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法
(4)配方法(5)换元法(包括三角换元) (6)反函数法(逆求法)
(7)分离常数法(8)判别式法(9)复合函数法
(10)不等式法(11)平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析
1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
①;②;③
例2 求下列函数的定义域:
①②
③④
⑤
例3 若函数的定义域是R,求实数a 的取值范围
例4 若函数的定义域为[-1,1],求函数的定义域
例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x-1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x2)的定义域。
练****设的定义域是[-3,],求函数的定义域
例7已知f(2x-1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域
练****已知f(x2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域
练****题:
1、若的定义域是,则函数的定义域是 ( )
A. B C. D.
2、已知函数的定义域为A,函数的定义域为B,则( )
A. C. D.
2、求值域问题
利用常见函数的值域来求(直接法)
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;
反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0};
二次函数的定义域为R,
当a>0时,值域为{};当a<0时,值域为{}.
例1 求下列函数的值域
① y=3x+2(-1x1) ②
③(记住图像)
解:①∵-1x1,∴-33x3,
∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5]
②略
③当x>0,∴=,
当x<0时,=-
∴值域是[2,+).(此法也称为配方法)
函数的图像为:
二次函数在区间上的值域(最值):
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:
①; ②;
③; ④;
解:∵,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,
∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y-3 }.
②∵顶点横坐标2[3,4],
当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;
∴在[3,4]上,=-2,=1;值域为[-2,1].
③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,
∴在[0,1]上,=-2,=1;值域为[-2,1].
④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6,
∴在[0,1]上,=-3,=6;值域为[-3,6].
注:对于二次函数,
⑴若定义域为R时,
①当a>0时,则当时,其最小值;
②当a<0时,则当时,其最大值.
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若[a,b],则是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,
再比较的大小决定函数的最大(小)值.
②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值.
注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
练****1、求函数y=3+√(2-3x)的值域
解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,
故3+√(2-3x)≥3。
∴函数的值域为.
2、求函数的值域
解: 对称轴

例3 求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
解:法一:(单调性法)设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,
所求的函数值域为{y|y≤4/3}。
小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。
练****求函数y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y≥3})
法二:换元法(下题讲)
例4 求函数的值域
解:(换元法)设,则

点评:将无理函数或二