用数学归纳法证明不等式课件选修4-.ppt

第二节　用数学归纳法证明不等式
【课标要求】
1．会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式．
2．了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用．
3．会用数学归纳法证明贝努利不等式．
【核第二节　用数学归纳法证明不等式
【课标要求】
1．会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式．
2．了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用．
3．会用数学归纳法证明贝努利不等式．
【核心扫描】
1．利用数学归纳法证明不等式是本节考查的重点．
2．本节常与不等式的性质、放缩法等综合考查.
1．贝努利不等式：设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则 .
2．贝努利不等式的更一般形式：
当α为实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)；
当α为实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)．
自学导引
(1＋x)n>1＋nx
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证
(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
解析　由题意知n≥3，∴应验证n＝.
答案　C
基础自测
2．对于正整数n，下列说法不正确的是 (　　)．
A．32≥1＋2n B．≥1－
C．＜1－ D．≥1－
解析　由贝努利不等式
∵(1＋x)n≥1＋nx，(n∈N＋，x≥－1)，
∴当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，
故A正确．
当x＝－，(1－)n≥1－，B正确，C不正确．
答案　C
解析　分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A.
答案　A
题型一　用数学归纳法证明绝对值不等式
【例1】 设x1，x2，…，xn为实数，证明：|x1＋x2＋…＋xn|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xn|.
[思维启迪] 在n＝k成立证明n＝k＋1也成立时，注意应用绝对值不等式性质．
证明　(1)∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，
∴n＝2时命题成立．
(2)设命题n＝k (k≥2)时成立，即
|x1＋x2＋…＋xk|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|，
于是，当n＝k＋1时，
|x1＋x2＋…＋xk＋1|＝|(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1|
≤|x1＋x2＋…＋xk|＋|xk＋1|
≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|＋|xk＋1|.
即当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，对于任意n∈N*命题都成立．
规律方法 使用数学归纳法要完成两步．第一步要验证“基础”；第二步要证明“递推”，二者缺一不可．关键在于使用归纳假设进行递推，这也是数学归纳法的灵活和魅力所在，要根据不同问题加强练****逐步掌握．
【变式1】 证明不等式|sin nθ|≤n|sin θ| (n∈N＋)．
证明　(1)当n＝1时，上式左边＝|sin θ|＝右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k (k≥1)时，命题成立，即有|sin kθ|≤k|sin θ|.
当n＝k＋1时，|sin(k＋1)θ|＝|sin(kθ＋θ)|
＝|sin kθcos θ＋cos kθ·sin θ|
≤|sin kθcos θ|＋|cos kθ·sin θ|
≤|sin kθ|＋|sin θ|
≤k|sin θ|＋|sin θ|＝(k＋1)|sin θ|.
即当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立．
题型二　用数学归纳法证明不等式
【例2】 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1(n∈N*)．
(1)求证{an－2n}为等差数列；
(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)．
[思维启迪] 由条件第一问可通过数列的有关知识来证明进而求出an通项公式，然后求bn的通项公式，最后用数学归纳法证明要证的结论即可．
解　(1)由an＋1＝an＋2n＋1得
(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝1，
因此{an－2n}成等差数列．
(2)an－2n＝(a1－2)＋(n－1)＝n－1，即an＝2n＋n－1，
bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.
规律方法 同用数学归纳法证明等式一样，这类题型也通常与数列的递推公式或通项公式有关，待证的不等式的条件可能直接给出，也可能需根据条件归纳猜想出后再证明．
题型三　数学归纳法与数列的综合问题
[思维启迪] 由题意可得如下信息：an，bn，an＋1成等差数