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圆心角定理
（弧、弦、圆心角关系定理）
基本内容:
1、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
2、 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，贝y它们所对的圆心角相等，所对的弦相等
3、 在同圆或等圆中，如果两条弦相tACOM9RtADON,・・・ZCOA=ZDOB,・・.AC =DE.
证法三、如图，分别延长CM、DN交0O于E、F,
TM、N 分别是 AO、BO 的中点，・OM= —AO, ON= —BO,
2 2
TOA=OB,・・・OM=ON,
又TCM丄AB, DN丄AB,・・・CE=DF,・・.CAE=DBF
tJc = l^fe DB =丄血・ =6S
T 2 ， 2 ，… .
说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵 活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.
例题4、如图，C是0O直径AB上一点，过C点作弦DE,使CD = CO,若盒的度数为40° ,
求日已的度数.
分折：要求館的度数，可求它所对的圆心角ZBOE的度数，如图作辅助线，通过等量转 换得出结果.
解： 连OE、OD并延长DO交0O于F.
T爼的度数为4O°,・ZAOD=4O°.
TCD = CO, AZODE=ZAOD=40° .
TOD=OE, AZE= ZODE=40°.
AZEOF=ZE+ZODE=80°,ZBOF= ZAOD=40°, （例题 4 图）
贝JZBOE=ZEOF +ZBOF =80° +40° =120°, .•丄已的度数为 120°.
说明：此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换. 例题5、如图，在。O中，直径AB垂直于CD
径MN交CD于F，且FO二FD = 2OE，求门电■的度数.
解连结OD.
AB 丄 CD 于 E，且 OF 二 2OE.
.•.ZEFO 二 30。, ZEOF 二 60。,
又OF 二 FD.
ZFDO = ZFOD = 15。
ZAOD 二 75。,
••• AM) /L「
n 的度数是150。.
说明：由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而我们对角是比较熟悉的，所以 求弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题.
例题6、已知：如图，M、N分别是。O的弦AB、CD的中点， AB 二 CD，求证：ZAMN = ZCNM .
分析：由弦AB = CD，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之 间的关系定理，又M、N分别为AB、CD的中点，如连结OM， ON，则有OM二ON，OM丄AB，ON丄CD，故易得结论.
证明 连结OM、ON，
O为圆心，M、N分别为弦AB、CD的中点， （例题6图）
・•・OM丄AB, ON丄CD .
•/ AB 二 CD
OM 二 ON
ZOMN 二 ZONM
ZAMN = 90。- ZOMN, ZCNM = 90。- ZONM
ZAMN 二 ZCNM
说明：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理
（例题7图）
来证题.
例题7、如图，已知。O中，期-庞=CD, OB、OC分别交AC、
DB于点M，N，求证：AOMN是等腰三角形.
分析：由，別：一 CD应得：OM丄AC，ON丄BD, 因此，只要证明AC二BD就可以证明AMON是等腰三角形.
证阴AB = BC = CD.
ABC= BCD 有 AC^BD,
T B JSAC的中点，
/. OB_lAC于Af, OM为弦心距.
C^BD的中点，
OC丄BD于N, ON为弦心距.
QM=ON,即^OMN是等腰三露形一
说明：在本题中，请注意垂径定理基本图形在证明中的作用.
例题8、如图，已知AB为。O的弦，从圆上任一点引弦CD丄AB，作ZOCD的平分线
交。O于P点，连接PA, PB.
求证：PA = PB.
证明：连结OP.
•・• CO = OP, :, ZOCP 二 ZOPC.
•・• CP是ZDCO的平分线，
・•・ ZDCP = ZOCP.・•・ OP 〃 CD.
•・• CD 丄 AB, A OP 丄 AB .
PA 二 PB.
PA=PB
说明：本题考査在同圆中等弧对等弦及垂径定理的综合应用， 解题关键是连结OP，证
OP丄AB .易错点是囿于用全等三角形的办法证明PA与PB相等而使思维受阻或证明繁 杂.
作业:
已知。O的半径为R，弦AB的长也为R，则ZAOB = ，弦心距是—
在。O中，弦AB所对的劣弧为圆的3，圆的半径为2cm，则AB =
圆的一条弦把圆分为度数的比为1：5的两条弧，如果圆的半径为R，则弦长为
A
该弦的弦心距为 ，直径AB丄CD，