《通信原理》 樊昌信 曹丽娜(第六版)第3章 随机过程.ppt

《通信原理》_樊昌信_曹丽娜(第六版)第3章_随机过程
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第3章 随机过程
 (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随机时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。
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第3章 随机过程
(2) 求(t)的时间平均值
比较统计平均与时间平均，有
因此，随机相位余弦波是各态历经的。
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第3章 随机过程
平稳过程的自相关函数
平稳过程自相关函数的定义：同前
平稳过程自相关函数的性质
— (t)的平均功率
— 的偶函数
— R()的上界
即自相关函数R()在 = 0有最大值。
— (t)的直流功率

表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有 R(0) = 2 。
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第3章 随机过程
平稳过程的功率谱密度
定义：
对于任意的确定功率信号f (t)，它的功率谱密度定义为
式中，FT ( f )是f (t)的截短函数fT (t) 所对应的频谱函数
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第3章 随机过程
对于平稳随机过程 (t) ，可以把f (t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故 (t)的功率谱密度可以定义为
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第3章 随机过程
功率谱密度的计算
维纳-辛钦关系
非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有
简记为
以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。
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第3章 随机过程
在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：
对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：
上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。
各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。
【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即
两边取傅里叶变换：
即
式中
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第3章 随机过程
功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有
和
这与R()的实偶性相对应。
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第3章 随机过程
[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct +  )的自相关函数和功率谱密度。
【解】在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为
因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有
以及由于有
所以，功率谱密度为
平均功率为
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第3章 随机过程
高斯随机过程（正态随机过程）
定义
如果随机过程 (t)的任意n维（n =1,2,...）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。
n维正态概率密度函数表示式为：
式中
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第3章 随机过程
式中 |B| － 归一化协方差矩阵的行列式，即
|B|jk －行列式|B|中元素bjk的代数余因子
bjk － 为归一化协方差函数，即
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第3章 随机过程
重要性质
由高斯过程的定义式可以看出,高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。
广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。
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第3章 随机过程
如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，
即对所有j  k，有bjk =0，则其概率密度可以简化为
这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。
高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。
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第3章 随机过程
高斯随机变量
定义