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导数在三次函数研究中的应用
四川省中江实验中学 罗忠
（作者联络 :********** 618100）
导数是高中数学新课程增加的内容，导数的引人为我们研究函数带来了方便，随着课改的不断深化，导数知识考察的要求逐渐加导数在三次函数研究中的应用
四川省中江实验中学 罗忠
（作者联络 :********** 618100）
导数是高中数学新课程增加的内容，导数的引人为我们研究函数带来了方便，随着课改的不断深化，导数知识考察的要求逐渐加强,而且导数已经由最初在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。 三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体，三次函数的问题涉及高中数学中较多的知识点和数学思想方法。 近几年，很多省份的高考数学试卷中都出现了以三次函数为载体，通过研究其图象性质,从而来考察学生的创新才能和探究才能的试题. 本人结合教学理论，就导数在三次函数中的应用及应用中的误区作初步的讨论。下面例析导数在三次函数研究中的应用。
例1、曲线y=x3―x，求经过点(1,0)的切线方程.
解：设切点为（x0，y0），那么由y/=3x2－1，有斜率k=3x－1,
∴在(x0，y0）处的切线方程为y－y0=（3x－1）（x－x0），
又∵切点（x0，y0)在曲线上及点P（1，0）在切线上，
∴ ∴x0=1或x0=― ∴k=2或 ∴经过(1,0）的切线方程为y=2x―2或y= 。
评注：这类题学生经常犯的错误是把所给的点当成切点。此类题应注意区分“过P点的切线”和“以P点为切点的曲线的切线
”.
例2、f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求f（2）的值.
解：由题意，f /（x）=3x2+2ax+b，那么，
即，∴或
此时 当时，f /（x)=3x2+8x－11=（x－1)(3x+11）,当x＜1时,f /（x）＜0，x＞1时，f /(x）＞0,∴在x=1处有极值，
∴f（2)=18。
当时,f /（x）=3（x－1）2，显然在x=1处无极值，
综上,f（2）=18。
评注：某一点成为函数的极值点必须满足两个条件：（1）该点处的导数为零.（2），要注意验证导数为0处左右的函数的单调性.
例3、假设方程x3－3x－m=0有一个二重根，求m的值。
解：令y1=x3，y2=3x+m，那么问题转化为直线y1