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一元回归及 简单相关分析
Simple Regression and Correlation Analysis
第8章第一节
内 容概要
第一节 回归与相关的基本概念
第二节 一元线性回归方程
第四影响的散点图
土壤NaCI含量 / -1
0






干重/ -2
重复值
1
80
90
95
115
130
115
135
2
100
85
89
94
106
125
137
3
75
107
115
103
103
128
128
4
89
93
92
110
110
143
127
5
91
103
115
113
128
132
155
6
79
92
120
108
131
121
132
7
101
78
95
121
117
129
148
8
85
105
95
110
121
112
117
9
83
93
105
108
114
120
134
10
79
85
98
111
116
130
132
平均数







增加每一NaCI含量下观测次数(10次重复观测值及平均值如下)
每个NaCI含量下10次重复的散点图
“•”表示在各xi处y的平均值；“+”是第一次观测的数据
二、 一元正态线性回归模型
若X是可控制的变量，在实验无限重复之后，则可以得到在各xi上的Y的条件平均数μY·X ，这些平均数构成一条直线。
μY =α+βX
Y :NID(α+βX, σ2)
ε :NID(0, σ2)
Y =α+βX+ε
1、估计直线的一般表达式：
a：截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标，
表示X＝0时Y的平均值。
b：斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。
意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。
b>0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系—— 水平。
｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
三、参数α和β的估计
回归系数：一元线性回归线的斜率称为回归系数，表示自变量每改变一个单位，因变量平均改变的单位数。
回归线：根据回归方程所画出的直线称为回归线。
2、基本概念
回归方程： 称为Y对X的回归方程。
3、最优回归线的估计原理
最小二乘法(method of least square)原理：
在各种离差平方和中，以距平均数的离差平方和最小。
在回归问题中，则在xi处Y的实际观测值yi对条件平均数μY·xi离差平方和最小，也就是使各散点到直线的纵向距离的平方和最小。
即观测值与回归估计值之间的离差平方和
达到最小时的回归线作为最好的回归线。
4、β和α的最小二乘估计
⑴ β的最小二乘估计：
⑵ α的最小二乘估计：
X和Y的校正交叉乘积和，用SXY表示。
X的校正平方和，用SXX表示。
Y的总校正平方和，用SYY表示。
四、回归方程的计算实例
【】根据下表中的数据，计算干物重在NaCI含量上的回归方程。
土壤NaCI含量X / -1
0






干重Y / -2
80
90
95
115
130
115
135
解：
① 列出回归方程计算表：
（编码法）
X
X ’=X-
X ’ 2
Y
Y ’ =Y-110
Y ’ 2
X ’ Y ’
0
-

80
-30
900
72

-

90
-20
400
32

-

95
-15
225
12

0
0
115
5
25
0



130
20
400
16



115
5
25
8



135
25
625
60
和
0

-10
2600
200
② 利用公式计算SXY